kaoyan2advanced 高等数学 第121题
📝 题目
### 第121题
设 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right), 0 \leqslant x<1, \\ \frac{1}{3}(x+1), 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内 （A）单调增加． （B）有跳跃间断点 $x=1$ ． （C）有可去间断点 $x=1$ ． （D）连续．
$\stackrel{\text { si }}{\text { 错荅 }}$
熟练 还可以
筆估 熟练 $]$ 还可以 $]$ 有点难 $[$ 不会
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$f(x)$在$x=1$处左极限$\displaystyle \frac{1}{2}(1^2-1)=0$，右极限$\displaystyle \frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}$，$f(x)$在$x=1$处有跳跃间断点。 步骤2：$g(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t$，由于$f(x)$在$[0,2]$上除$x=1$外连续，且$f$在$x=1$处有界，故$g(x)$连续。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析f(x)在x=1处的连续性
计算$f(x)$在$x=1$处的左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1}{2}(1^2 - 1) = 0$；右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{3}(1 + 1) = \frac{2}{3}$。左右极限不相等，因此$f(x)$在$x=1$处有跳跃间断点。
提示：注意左右极限分别代入不同表达式
步骤 2/6
目标：写出g(x)的分段表达式
当$0 \le x < 1$时，$g(x) = \int_0^x \frac{1}{2}(t^2 - 1) \, dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} - t \right]_0^x = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} - x \right) = \frac{x^3}{6} - \frac{x}{2}$。当$1 \le x \le 2$时，$g(x) = \int_0^1 \frac{1}{2}(t^2 - 1) \, dt + \int_1^x \frac{1}{3}(t + 1) \, dt = \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{3} \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_1^x = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{x^2}{6} + \frac{x}{3} - \frac{5}{6}$。
公式：$$g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$$
提示：注意分段积分上下限的衔接
步骤 3/6
目标：检查g(x)在x=1处的连续性
计算$g(1)$：由分段表达式，$g(1) = \frac{1^2}{6} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$。左极限：$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \frac{1^3}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{3}$。右极限：$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \frac{1^2}{6} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{3}$。左右极限相等且等于函数值，故$g(x)$在$x=1$处连续。
提示：注意分段点处左右极限与函数值相等
步骤 4/6
目标：判断g(x)在(0,2)内的单调性
由微积分基本定理，$g'(x) = f(x)$，但$f(x)$在$x=1$处不连续，因此$g'(x)$在$x=1$处不存在。在$(0,1)$内，$f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1) < 0$，故$g(x)$单调递减；在$(1,2)$内，$f(x) = \frac{1}{3}(x+1) > 0$，故$g(x)$单调递增。因此$g(x)$在$(0,2)$内不是单调的。
公式：$$g'(x) = f(x)$$
提示：注意分段点处导数可能不存在
步骤 5/6
目标：综合判断选项
选项A错误，因为$g(x)$在$(0,2)$内先减后增。选项B和C错误，因为$g(x)$在$x=1$处连续，没有间断点。选项D正确，因为$g(x)$在$(0,2)$内连续（在$x=1$处连续，其他点由初等函数连续性可知连续）。
提示：注意分段函数在分段点处的连续性
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$g(x)$在区间$(0,2)$内连续，答案为D。
提示：注意分段函数在分段点处的连续性
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