kaoyan2advanced 高等数学 第161题
📝 题目
### 第161题
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间 $(0$ ， $+\infty)$ 上有界，则实数 $b$ 的取值范围是 （A）$[0,+\infty)$ ． （B）$(-\infty, 0)$ ． （C）$(-\infty, 2)$ ． （D）$(-\infty,+\infty)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：特征方程$r^2+br+1=0$，判别式$\Delta=b^2-4$。当$b>2$时，两负实根，解指数衰减有界；当$b=2$时，重根$r=-1$，解$e^{-x}(C_1+C_2x)$在$(0,+\infty)$有界；当$0\leq b<2$时，实部为负的复根，解振荡衰减有界；当$b<0$时，实部为正，解无界。故$b\geq0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征方程
对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + b y' + y = 0$，其特征方程为 $r^2 + b r + 1 = 0$。
公式：$$r^2 + b r + 1 = 0$$
提示：注意特征方程系数对应正确
步骤 2/5
目标：分析特征根与解的形式
判别式 $\Delta = b^2 - 4$。根据 $b$ 的不同取值，特征根有三种情况：
- 当 $\Delta > 0$ 时，有两个不等实根 $r_1, r_2$；
- 当 $\Delta = 0$ 时，有重根 $r = -b/2$；
- 当 $\Delta < 0$ 时，有一对共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$，其中 $\alpha = -b/2$，$\beta = \sqrt{4-b^2}/2$。
公式：$$\Delta = b^2 - 4$$
提示：注意判别式符号决定根的类型
步骤 3/5
目标：分情况讨论解的有界性
1. 当 $b > 2$ 时，$\Delta > 0$，特征根为两负实根（因为 $r_1 + r_2 = -b < 0$，$r_1 r_2 = 1 > 0$），解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，在 $(0, +\infty)$ 上指数衰减，有界。
2. 当 $b = 2$ 时，$\Delta = 0$，重根 $r = -1$，解为 $y = (C_1 + C_2 x) e^{-x}$，在 $(0, +\infty)$ 上 $x e^{-x}$ 有界，因此解有界。
3. 当 $0 \leq b < 2$ 时，$\Delta < 0$，实部 $\alpha = -b/2 \leq 0$，解为 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$，当 $\alpha < 0$ 时振荡衰减有界，当 $\alpha = 0$（即 $b=0$）时解为周期函数，有界。
4. 当 $b < 0$ 时，$\alpha = -b/2 > 0$，解为 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$，指数增长，无界。
提示：注意b=0时解为周期函数有界
步骤 4/5
目标：综合结论
由以上分析，当 $b \geq 0$ 时，所有解在 $(0, +\infty)$ 上有界；当 $b < 0$ 时，存在无界解。因此实数 $b$ 的取值范围是 $[0, +\infty)$。
提示：注意b=0时解有界，需包含端点
步骤 5/5
目标：选择答案
对应选项为 (A) $[0, +\infty)$。
提示：注意区间端点是否包含0
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