kaoyan2advanced 高等数学 第162题
📝 题目
### 第162题
设 $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+a_{1} y^{\prime}+a_{2} y=\mathrm{e}^{x}$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $\left(a_{1}\right.$ ， $a_{2}$ 均为常数），则 （A）当 $a_{2}<1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点． （B）当 $a_{2}<1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点． （C）当 $a_{2}>1$ 时，$x=0$ 不是 $y(x)$ 的极大值点． （D）当 $a_{2}>1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$y(0)=1$, $y'(0)=0$，代入方程得$y''(0)+a_1\cdot0+a_2\cdot1=e^0=1$，故$y''(0)=1-a_2$。当$a_2<1$时，$y''(0)>0$，$x=0$为极小值点；当$a_2>1$时，$y''(0)<0$，$x=0$为极大值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件代入方程
已知 $y(0)=1$，$y'(0)=0$，代入微分方程 $y''+a_1 y'+a_2 y = e^x$，得 $y''(0) + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 = e^0 = 1$，即 $y''(0) + a_2 = 1$。
公式：$$y''(0) + a_2 = 1$$
提示：注意代入时y'(0)=0和y(0)=1
步骤 2/5
目标：解出二阶导数值
由 $y''(0) + a_2 = 1$，解得 $y''(0) = 1 - a_2$。
公式：$$y''(0) + a_2 = 1$$
提示：注意代入初始条件时y'(0)=0
步骤 3/5
目标：根据二阶导数符号判断极值
由于 $y'(0)=0$，$x=0$ 是驻点。根据极值判别法，若 $y''(0) > 0$，则 $x=0$ 是极小值点；若 $y''(0) < 0$，则 $x=0$ 是极大值点。
公式：$$y''(0) > 0 \Rightarrow \text{极小值}, \quad y''(0) < 0 \Rightarrow \text{极大值}$$
提示：注意二阶导数符号与极值类型的对应关系
步骤 4/5
目标：分情况讨论
当 $a_2 < 1$ 时，$y''(0) = 1 - a_2 > 0$，故 $x=0$ 是极小值点。当 $a_2 > 1$ 时，$y''(0) = 1 - a_2 < 0$，故 $x=0$ 是极大值点。
公式：$$y''(0) = 1 - a_2$$
提示：注意二阶导符号与极值关系
步骤 5/5
目标：匹配选项
选项（B）说“当 $a_2<1$ 时，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点”，与上述结论一致。其他选项均不正确。
提示：注意极小值点判别条件与参数范围的关系
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