kaoyan2advanced 高等数学 第163题
📝 题目
### 第163题
如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则 （A）$a=-1, b=1$ ． （B）$a=1, b=-1$ ． （C）$a=2, b=1$ ． （D）$a=2, b=2$ ．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：特解$y^*=e^{-x}(x\cos x+x\sin x)$，非齐次项$e^{-x}\cos x$。特征根应含$-1\pm i$（二重根），故特征方程$(r+1+i)^2(r+1-i)^2=0$展开得$r^4+4r^3+8r^2+8r+4=0$，但原方程为二阶，故特征根$-1\pm i$为单根，对应特征方程$r^2+2r+2=0$，即$a=2$, $b=2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特解形式与自由项的关系
非齐次项为 $e^{-x} \cos x$，特解为 $y^* = e^{-x}(x \cos x + x \sin x)$。特解中出现了 $x$ 因子，表明特征根包含 $\lambda = -1 \pm i$ 且为单根（否则特解中不会出现 $x$ 的一次幂）。
提示：注意特解中x的幂次对应特征根的重数
步骤 2/5
目标：确定特征根
由特解形式可知，特征根为 $r_1 = -1 + i$, $r_2 = -1 - i$。
提示：注意特解形式与特征根的关系
步骤 3/5
目标：构造特征方程
特征方程为 $(r - r_1)(r - r_2) = 0$，即 $(r + 1 - i)(r + 1 + i) = 0$，展开得 $(r+1)^2 + 1 = 0$，即 $r^2 + 2r + 2 = 0$。
公式：$$(r - r_1)(r - r_2) = 0$$
提示：注意复根共轭出现，展开时小心符号
步骤 4/5
目标：对应原微分方程
原方程为 $y'' + a y' + b y = e^{-x} \cos x$，其特征方程为 $r^2 + a r + b = 0$。与 $r^2 + 2r + 2 = 0$ 对比，得 $a = 2$, $b = 2$。
公式：$$r^2 + a r + b = 0$$
提示：注意特征方程系数对应
步骤 5/5
目标：验证选项
选项 (D) $a=2, b=2$ 符合条件。
公式：$$y''+ay'+by=e^{-x}\cos x$$
提示：注意特解形式与特征根关系
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