kaoyan2advanced 高等数学 第164题
📝 题目
### 第164题
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于 （A） $\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
建议荅题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：齐次方程$y''-6y'+9y=0$特征方程$r^2-6r+9=0$，根$r=3$（二重），齐次通解$y_h=(C_1+C_2x)e^{3x}$。非齐次项$e^{3x}$，设特解$y_p=Ax^2e^{3x}$，代入得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，故通解$\displaystyle y=(C_1+C_2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}$。由$y(0)=0$得$C_1=0$，由$y'(0)=2$（切线斜率$2$）得$C_2=2$，故$\displaystyle y=(2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}=\frac{x}{2}(x+4)e^{3x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求解齐次方程的通解
齐次方程 $y'' - 6y' + 9y = 0$ 的特征方程为 $r^2 - 6r + 9 = 0$，解得 $r = 3$（二重根）。因此齐次通解为 $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{3x}$。
公式：$$r^2 - 6r + 9 = 0 \Rightarrow r = 3 \text{（二重根）}$$
提示：注意二重根时通解形式为$(C_1+C_2x)e^{rx}$
步骤 2/6
目标：设非齐次方程的特解
非齐次项为 $e^{3x}$，而 $3$ 是特征方程的二重根，故设特解 $y_p = A x^2 e^{3x}$。
提示：注意二重根时特解形式要乘x^2
步骤 3/6
目标：代入确定特解系数
将 $y_p$ 代入原方程：$y_p' = A(2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x})$，$y_p'' = A(2 e^{3x} + 12x e^{3x} + 9x^2 e^{3x})$。代入得 $A(2 e^{3x} + 12x e^{3x} + 9x^2 e^{3x}) - 6A(2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}) + 9A x^2 e^{3x} = e^{3x}$，化简得 $2A e^{3x} = e^{3x}$，故 $A = \frac{1}{2}$。因此特解 $y_p = \frac{1}{2} x^2 e^{3x}$。
公式：$$y_p = \frac{1}{2} x^2 e^{3x}$$
提示：注意特解形式中x的幂次
步骤 4/6
目标：写出通解并利用初始条件
通解为 $y = (C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x}$。由 $y(0) = 0$ 得 $C_1 = 0$。又切线平行于 $2x - y - 5 = 0$，该直线斜率为 $2$，故 $y'(0) = 2$。求导得 $y' = (C_2 + x + \frac{3}{2} x^2) e^{3x} + 3(C_2 x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x}$，代入 $x=0$ 得 $y'(0) = C_2 = 2$。
公式：$$y = (C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x}$$
提示：注意初始条件代入时求导正确
步骤 5/6
目标：得到最终表达式并化简
将 $C_1=0$，$C_2=2$ 代入通解得 $y = (2x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x} = \frac{x}{2}(x+4) e^{3x}$。
公式：$$y = (2x + \frac{1}{2} x^2) e^{3x} = \frac{x}{2}(x+4) e^{3x}$$
提示：注意代入后合并同类项并因式分解
步骤 6/6
目标：选择正确答案
对比选项，该表达式对应选项 (C)。
提示：注意初始条件确定常数
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