kaoyan2advanced 高等数学 第165题
📝 题目
### 第165题
方程 $y y^{\prime \prime}-y^{\prime 2}=y^{2} \ln y(y>0)$ ，满足 $\left.y\right|_{x=0}=\mathrm{e},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\mathrm{e}$ 的解为 （A） $\mathrm{e}^{x+1}$ ． （B）$e^{e^{x}}$ ． （C） $\mathrm{e}^{x}$ ． （D） $2 \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：令$p=y'$，则$\displaystyle y''=p\frac{dp}{dy}$，方程化为$\displaystyle yp\frac{dp}{dy}-p^2=y^2\ln y$，即$\displaystyle \frac{dp}{dy}-\frac{p}{y}=\frac{y\ln y}{p}$。令$u=p^2$，得$\displaystyle \frac{du}{dy}-\frac{2}{y}u=2y\ln y$，解得$u=y^2(\ln^2 y+C)$。由$y(0)=e$, $y'(0)=e$得$p(e)=e$，代入得$C=0$，故$p=y\ln y$。分离变量$\displaystyle \frac{dy}{y\ln y}=dx$，积分得$\ln|\ln y|=x+C$，由$y(0)=e$得$C=0$，故$\ln y=e^x$，即$y=e^{e^x}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：变量代换降阶
令 $p = y'$，则 $y'' = \frac{dp}{dx} = p \frac{dp}{dy}$。代入原方程 $y y'' - (y')^2 = y^2 \ln y$ 得：
$$ y \cdot p \frac{dp}{dy} - p^2 = y^2 \ln y $$
公式：$$ y \cdot p \frac{dp}{dy} - p^2 = y^2 \ln y $$
提示：注意p是y的函数，求导时用链式法则
步骤 2/6
目标：步骤2：化为伯努利方程
整理得：
$$ \frac{dp}{dy} - \frac{p}{y} = \frac{y \ln y}{p} $$
令 $u = p^2$，则 $\frac{du}{dy} = 2p \frac{dp}{dy}$，代入得：
$$ \frac{du}{dy} - \frac{2}{y} u = 2y \ln y $$
公式：$$ \frac{du}{dy} - \frac{2}{y} u = 2y \ln y $$
提示：注意u=p^2的导数变换，避免漏乘2
步骤 3/6
目标：步骤3：解一阶线性微分方程
此为一阶线性微分方程，通解为：
$$ u = e^{\int \frac{2}{y} dy} \left( \int 2y \ln y \cdot e^{-\int \frac{2}{y} dy} dy + C \right) = y^2 \left( \int \frac{2 \ln y}{y} dy + C \right) $$
计算积分：$\int \frac{2 \ln y}{y} dy = \ln^2 y$，故：
$$ u = y^2 (\ln^2 y + C) $$
公式：$$ u = e^{\int \frac{2}{y} dy} \left( \int 2y \ln y \cdot e^{-\int \frac{2}{y} dy} dy + C \right) = y^2 \left( \int \frac{2 \ln y}{y} dy + C \right) $$
提示：注意积分常数C的位置
步骤 4/6
目标：步骤4：利用初始条件确定常数
由 $y(0) = e$，$y'(0) = e$ 得 $p(e) = e$，即 $u(e) = e^2$。代入：
$$ e^2 = e^2 (\ln^2 e + C) = e^2 (1 + C) $$
解得 $C = 0$，故 $u = y^2 \ln^2 y$，即 $p = y \ln y$（因 $y>0$，$\ln y>0$ 时取正）。
公式：$$u = y^2 \ln^2 y$$
提示：注意初始条件代入时符号选择
步骤 5/6
目标：步骤5：分离变量求解
由 $p = y' = y \ln y$ 得：
$$ \frac{dy}{y \ln y} = dx $$
两边积分：$\int \frac{dy}{y \ln y} = \int dx$，得 $\ln |\ln y| = x + C_1$。
公式：$$\frac{dy}{y \ln y} = dx$$
提示：注意绝对值符号，ln y可能为负
步骤 6/6
目标：步骤6：代入初始条件得特解
由 $y(0) = e$ 得 $\ln |\ln e| = 0 + C_1$，即 $0 = C_1$。故 $\ln (\ln y) = x$，即 $\ln y = e^x$，所以 $y = e^{e^x}$。
公式：$$\ln(\ln y) = x + C_1$$
提示：注意ln y的定义域，y>0且y≠1
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