kaoyan2advanced 高等数学 第166题
📝 题目
### 第166题
微分方程 $x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=4 x$ 的通解为 （A）$y=x+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （B）$y=x^{3}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （C）$y=x^{4}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ． （D）$y=x^{2}+C_{1} \ln |x|+C_{2}$ ．
建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：令$p=y'$，则方程化为$xp'+p=4x$，即$(xp)'=4x$，积分得$xp=2x^2+C_1$，故$\displaystyle p=2x+\frac{C_1}{x}$。再积分得$y=x^2+C_1\ln|x|+C_2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：降阶处理
令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，原方程化为 $x p' + p = 4x$。
公式：$$x p' + p = 4x$$
提示：注意降阶后方程类型判断
步骤 2/5
目标：化为导数形式
注意到 $(x p)' = x p' + p$，因此方程变为 $(x p)' = 4x$。
公式：$$(x p)' = x p' + p$$
提示：注意将方程转化为导数形式
步骤 3/5
目标：积分求解 $p$
两边积分得 $x p = 2x^2 + C_1$，所以 $p = 2x + \frac{C_1}{x}$。
公式：$$p = 2x + \frac{C_1}{x}$$
提示：注意积分后常数处理
步骤 4/5
目标：再次积分求 $y$
由 $y' = p = 2x + \frac{C_1}{x}$，积分得 $y = x^2 + C_1 \ln |x| + C_2$。
公式：$$y = \int p \, dx = \int \left(2x + \frac{C_1}{x}\right) dx = x^2 + C_1 \ln |x| + C_2$$
提示：注意积分常数C1和C2的添加
步骤 5/5
目标：得出答案
通解为 $y = x^2 + C_1 \ln |x| + C_2$，对应选项 D。
公式：$$x y'' + y' = 4x$$
提示：注意降阶法，令p=y'
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。