kaoyan2advanced 高等数学 第167题
📝 题目
### 第167题
已知 $y_{1}=x^{2} \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{2 x}(3 \cos 3 x-2 \sin 3 x)$ 是某 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则最小的 $n$ 为 （A） 3 ． （B） 4 ． （C） 5 ． （D） 6 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$y_1=x^2e^x$对应特征根$r=1$（三重根，因$x^2$因子）。$y_2=e^{2x}(3\cos3x-2\sin3x)$对应特征根$r=2\pm3i$（一对共轭复根）。故特征根至少为$1$（三重）和$2\pm3i$（各一重），共5个根，最小$n=5$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特解 $y_1$ 对应的特征根
特解 $y_1 = x^2 e^x$ 的形式表明，特征根 $r=1$ 至少是三重根。因为 $x^2$ 因子对应重根的重数为3。
提示：注意x^2对应重根次数为3
步骤 2/5
目标：分析特解 $y_2$ 对应的特征根
特解 $y_2 = e^{2x}(3\cos 3x - 2\sin 3x)$ 的形式表明，特征根为共轭复根 $r = 2 \pm 3i$，且每个根的重数至少为1。
提示：注意共轭复根成对出现
步骤 3/5
目标：确定特征根的总数
特征根包括：$r=1$（三重根，计3个根），$r=2+3i$（一重根，计1个根），$r=2-3i$（一重根，计1个根）。总根数为 $3+1+1=5$。
提示：注意重根要重复计数
步骤 4/5
目标：确定最小阶数 $n$
由于 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是 $n$ 次多项式，特征根的总数（计重数）等于阶数 $n$。因此，最小的 $n$ 为 $5$。
公式：$$n = \text{特征根的总数（计重数）}$$
提示：注意特征根的重数计入总数
步骤 5/5
目标：得出答案
最小的 $n$ 为 $5$，对应选项 (C)。
提示：注意特征根的重数
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