kaoyan2advanced 高等数学 第168题
📝 题目
### 第168题
具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=5 \cos x$ 的 4 阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （C）$y^{(4)}+y=0$ ． （D）$y^{(4)}-y=0$ ．
科估
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：特解$e^x$对应特征根$r=1$，$e^{-x}$对应$r=-1$，$5\cos x$对应$r=\pm i$。特征多项式为$(r-1)(r+1)(r^2+1)=r^4-1=0$，对应微分方程$y^{(4)}-y=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：根据特解推导特征根
已知特解 $y_1 = e^x$ 对应特征根 $r=1$；$y_2 = e^{-x}$ 对应特征根 $r=-1$；$y_3 = 5\cos x$ 对应特征根 $r = \pm i$（因为 $\cos x$ 可由 $e^{ix}$ 和 $e^{-ix}$ 组合得到）。
提示：注意cosx对应共轭复根±i
步骤 2/5
目标：步骤2：构造特征多项式
由特征根 $r=1, r=-1, r=i, r=-i$，特征多项式为 $(r-1)(r+1)(r-i)(r+i) = (r^2-1)(r^2+1) = r^4 - 1$。
公式：$$(r-1)(r+1)(r-i)(r+i) = (r^2-1)(r^2+1) = r^4 - 1$$
提示：注意共轭复根成对出现
步骤 3/5
目标：步骤3：由特征多项式写出微分方程
特征方程 $r^4 - 1 = 0$ 对应的常系数齐次线性微分方程为 $y^{(4)} - y = 0$。
公式：$$y^{(4)} - y = 0$$
提示：注意特征根与特解对应关系
步骤 4/5
目标：步骤4：验证选项
选项（D）为 $y^{(4)} - y = 0$，与推导结果一致。其他选项的特征多项式均不满足 $r^4-1=0$。
公式：$$r^4-1=0$$
提示：注意特解对应特征根的重数
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
因此，正确选项为（D）。
提示：注意特解对应的特征根及重数
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