kaoyan2advanced 高等数学 第114题
📝 题目
### 第114题
设 $F(x)$ 是函数 $f(x)=\max \left\{x, x^{2}\right\}$ 的一个原函数，则 （A）$x=0$ 和 $x=1$ 都是 $F(x)$ 的间断点． （B）$x=0$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点． （C）$x=1$ 是 $F^{\prime}(x)$ 的间断点． （D）$F^{\prime}(x)$ 处处连续．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$f(x) = \max\{x, x^2\} = \begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$，$f(x)$连续。 步骤2：$F(x)$是$f(x)$的原函数，由于$f(x)$连续，故$F(x)$可导且$F'(x)=f(x)$处处连续。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：写出分段函数表达式
由 $f(x)=\max\{x, x^2\}$，比较 $x$ 与 $x^2$ 的大小：当 $x \leq 0$ 时，$x^2 \geq x$；当 $0 < x < 1$ 时，$x > x^2$；当 $x \geq 1$ 时，$x^2 \geq x$。因此 $$f(x)=\begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$$
公式：$$f(x)=\begin{cases} x^2, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ x^2, & x \geq 1 \end{cases}$$
提示：注意分段点处大小比较
步骤 2/6
目标：步骤2：判断 $f(x)$ 的连续性
在 $x=0$ 处：$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} x^2 = 0$，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$，且 $f(0)=0^2=0$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续。在 $x=1$ 处：$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} x = 1$，$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} x^2 = 1$，且 $f(1)=1^2=1$，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
提示：注意分段函数在分界点处要分别求左右极限
步骤 3/6
目标：步骤3：利用原函数性质
由于 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $f(x)$ 连续，根据原函数存在定理，$F(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $F'(x)=f(x)$ 处处成立。
提示：注意原函数可导必连续
步骤 4/6
目标：步骤4：分析 $F'(x)$ 的连续性
因为 $F'(x)=f(x)$，而 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，所以 $F'(x)$ 处处连续。
公式：$$F'(x)=f(x)$$
提示：原函数可导必连续，但导函数不一定连续。
步骤 5/6
目标：步骤5：判断选项
选项（A）错误，因为 $F(x)$ 可导必连续，无间断点。选项（B）和（C）错误，因为 $F'(x)=f(x)$ 连续。选项（D）正确。
提示：原函数可导必连续，无间断点
步骤 6/6
目标：步骤6：得出答案
因此，正确选项为（D）。
提示：注意原函数连续，不可导点不影响连续性
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。