kaoyan2advanced 高等数学 第115题
📝 题目
### 第115题
下列函数中必为奇函数的是
（A） $\int_{a}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （B） $\int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$ ． （C） $\int_{0}^{x} t \ln \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t$ ． （D） $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{y} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} y$ ．
建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：奇函数的定义：若$F(x)=\int_0^x g(t)\mathrm{d}t$，则当$g(t)$为偶函数时，$F(x)$为奇函数。 步骤2：选项A：被积函数$\sin t^2$为偶函数，但积分下限为$a$，不一定是奇函数。 步骤3：选项B：$\sin t^3$为奇函数，故$\int_0^x \sin t^3 \mathrm{d}t$为偶函数，不是奇函数。 步骤4：选项C：$t\ln(t+\sqrt{1+t^2})$为偶函数（因为$\ln(t+\sqrt{1+t^2})$为奇函数），故$\int_0^x$为奇函数。 步骤5：选项D：$\int_0^x [\int_0^y \sin t^2 \mathrm{d}t] \mathrm{d}y$，内层为奇函数（$\sin t^2$偶，积分得奇），再积分得偶函数。 步骤6：必为奇函数的是C。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：奇函数判定定理
若 $F(x)=\int_0^x g(t)\mathrm{d}t$，则当 $g(t)$ 为偶函数时，$F(x)$ 为奇函数；当 $g(t)$ 为奇函数时，$F(x)$ 为偶函数。
提示：注意积分下限必须为0才能用该定理
步骤 2/6
目标：步骤2：分析选项A
选项A：$\int_{a}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$。被积函数 $\sin t^2$ 为偶函数，但积分下限为 $a$ 而非0，不满足定理条件，故不一定为奇函数。
提示：注意积分下限必须为0
步骤 3/6
目标：步骤3：分析选项B
选项B：$\int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$。被积函数 $\sin t^3$ 为奇函数，由定理知 $F(x)$ 为偶函数，不是奇函数。
提示：奇函数积分上限函数为偶函数
步骤 4/6
目标：步骤4：分析选项C
选项C：$\int_{0}^{x} t \ln \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right) \mathrm{d} t$。令 $g(t)=t\ln(t+\sqrt{1+t^2})$，由于 $\ln(t+\sqrt{1+t^2})$ 为奇函数，乘以 $t$（奇函数）得 $g(t)$ 为偶函数，故 $F(x)$ 为奇函数。
提示：注意奇偶性判断：奇×奇=偶，偶函数积分上限x得奇函数
步骤 5/6
目标：步骤5：分析选项D
选项D：$\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{y} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right] \mathrm{d} y$。内层 $\int_0^y \sin t^2 \mathrm{d}t$ 中 $\sin t^2$ 为偶函数，故内层为奇函数；外层再积分得偶函数，不是奇函数。
提示：注意奇偶函数积分后的奇偶性变化
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
综合以上，必为奇函数的是选项C。
提示：注意奇函数定义及积分上限函数奇偶性判定。
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