kaoyan2advanced 高等数学 第173题
📝 题目
### 第173题
设 $\displaystyle a_{0} \in(-1,1), a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}, n=1,2, \cdots$ ，求： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} 4^{n}\left(1-a_{n}\right)$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$；（2）$\displaystyle \frac{\sqrt{1-a_0^2}}{\arccos a_0}$ **解析**： （1）令$a_n=\cos\theta_n$，则$\theta_n\in(0,\pi)$，由$\displaystyle a_n=\sqrt{\frac{1+\cos\theta_{n-1}}{2}}=\cos\frac{\theta_{n-1}}{2}$，得$\displaystyle \theta_n=\frac{\theta_{n-1}}{2}$，故$\displaystyle \theta_n=\frac{\theta_0}{2^n}$，其中$\theta_0=\arccos a_0$。 $\displaystyle 1-a_n=1-\cos\frac{\theta_0}{2^n}=2\sin^2\frac{\theta_0}{2^{n+1}}$，则$\displaystyle 4^n(1-a_n)=4^n\cdot2\sin^2\frac{\theta_0}{2^{n+1}}=2\cdot4^n\left(\frac{\theta_0}{2^{n+1}}\right)^2\cdot\frac{\sin^2\frac{\theta_0}{2^{n+1}}}{\left(\frac{\theta_0}{2^{n+1}}\right)^2}\to2\cdot\frac{\theta_0^2}{4}=\frac{\theta_0^2}{2}$，即$\displaystyle \frac{(\arccos a_0)^2}{2}$。 （2）$\displaystyle a_1a_2\cdots a_n=\cos\frac{\theta_0}{2}\cos\frac{\theta_0}{2^2}\cdots\cos\frac{\theta_0}{2^n}=\frac{\sin\theta_0}{2^n\sin\frac{\theta_0}{2^n}}$，极限为$\displaystyle \frac{\sin\theta_0}{\theta_0}=\frac{\sqrt{1-a_0^2}}{\arccos a_0}$。 **难度**：★★★☆☆