kaoyan2advanced 高等数学 第172题
📝 题目
### 第172题
（1）已知 Stolz 定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=L$ ． 证明：若 $x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle x_{1}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L(L>0)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=L$ 。 （2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：
$$ x_{1}=1, x_{2}=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2, \cdots, $$
证明：$\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n}-b^{n}}{\sqrt{5}}$ ，其中 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ． （3）对（2）中的 $x_{n}$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ **解析**： （1）由Stolz定理，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln\sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln x_{n+1}-\ln x_n}{(n+1)-n}=\lim_{n\to\infty}\ln\frac{x_{n+1}}{x_n}=\ln L$，故$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=L$。 （2）特征方程$r^2=r+1$，根$\displaystyle r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，通解$x_n=C_1 a^n+C_2 b^n$，代入$x_1=1,x_2=1$得$\displaystyle C_1=\frac{1}{\sqrt{5}},C_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$，故$\displaystyle x_n=\frac{a^n-b^n}{\sqrt{5}}$。 （3）由（1）和（2），$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^n-b^n}=a$（因$|b|<1$），即$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 **难度**：★★★☆☆