kaoyan2advanced 高等数学 第171题
📝 题目
### 第171题
（1）证明：当 $x>0$ 时，$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)
💡 答案解析
**答案**：（1）证明见解析；（2）$\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ **解析**： （1）令$\displaystyle f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$g(x)=x-\ln(1+x)$，$x>0$。 $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$，$f(x)>f(0)=0$，即$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)$。 $\displaystyle g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$，$g(x)>g(0)=0$，即$\ln(1+x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明不等式（1）
令 $f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$g(x)=x-\ln(1+x)$，$x>0$。求导得 $f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$，$g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$。因此 $f(x)>f(0)=0$，$g(x)>g(0)=0$，即 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)
公式：$$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}, \quad g(x)=x-\ln(1+x)$$
提示：注意定义域x>0，求导后判断单调性
步骤 2/6
目标：将 $x_n$ 表示为乘积形式
由 $x_n$ 定义，$x_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}\right)$。取对数得 $\ln x_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}\right)$。
公式：$$\ln x_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}\right)$$
提示：注意对数运算与乘积的转换
步骤 3/6
目标：应用不等式放缩
令 $u=\frac{n^2-n+2k-1}{n^3}$，由（1）得 $\frac{u}{1+u}<\ln(1+u)
公式：$$\frac{u}{1+u} < \ln(1+u) < u$$
提示：注意u的表达式代入正确
步骤 4/6
目标：计算右端和式
$\sum_{k=1}^{n}u=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}(n^2-n+2k-1)=\frac{1}{n^3}\left[n(n^2-n)+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n\right]=\frac{1}{n^3}(n^3-n^2+n^2+n-n)=1$。
提示：注意求和公式的准确应用
步骤 5/6
目标：计算左端和式并求极限
$\sum_{k=1}^{n}\frac{u}{1+u}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n^2-n+2k-1}{n^3+n^2-n+2k-1}$。由于分母中 $n^3$ 占主导，当 $n\to\infty$ 时，该和式也趋于 $1$。由夹逼准则得 $\lim_{n\to\infty}\ln x_n=1$，故 $\lim_{n\to\infty}x_n=e^1=e$。
公式：$$\sum_{k=1}^{n}\frac{n^2-n+2k-1}{n^3+n^2-n+2k-1}$$
提示：注意分母中n^3主导，忽略低阶项
步骤 6/6
目标：最终答案
$\lim_{n\to\infty}x_n=e$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}x_n=e$$
提示：注意极限形式与e的定义
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