kaoyan2advanced 高等数学 第170题
📝 题目
### 第170题
设质量为 $m$ 的物体在空气中降落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数 $k>0$ ，沿垂直地面向下方向取定坐标轴 $x$ ，物体在任意时刻 $t$ 的位置坐标为 $x=x(t)$ ，则物体的速度 $v(t)$ 所满足的微分方程为 （A）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v^{2}$ ． （B）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v^{2}$ ． （C）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m-k v^{2}$ ． （D）$\displaystyle m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v$ ．
## 解 答 题
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：物体受重力$mg$向下，空气阻力与速度平方成正比且向上，故合力$F=mg-kv^2$。由牛顿第二定律$\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析物体受力
物体在空气中降落，受到两个力：重力 $mg$，方向竖直向下；空气阻力 $f$，方向与运动方向相反，即竖直向上。根据题意，阻力与速度平方成正比，比例系数为 $k>0$，故 $f = k v^2$。
提示：注意阻力方向与速度相反
步骤 2/5
目标：应用牛顿第二定律
取竖直向下为正方向，则合力 $F = mg - f = mg - k v^2$。由牛顿第二定律 $F = m a$，其中加速度 $a = \frac{dv}{dt}$，可得 $m \frac{dv}{dt} = mg - k v^2$。
公式：$$m \frac{dv}{dt} = mg - k v^2$$
提示：注意阻力方向与速度相反，合力为重力减阻力
步骤 3/5
目标：写出微分方程
整理得速度 $v(t)$ 满足的微分方程为 $m \frac{dv}{dt} = mg - k v^2$。
公式：$$m \frac{dv}{dt} = mg - k v^2$$
提示：注意阻力方向与速度相反，符号为负。
步骤 4/5
目标：对比选项
选项（A）缺少质量 $m$，错误；选项（B）与推导结果一致，正确；选项（C）中重力项缺少 $g$，错误；选项（D）中阻力与 $v$ 一次方成正比，与题意不符，错误。
公式：$$m\frac{dv}{dt} = mg - kv^2$$
提示：注意阻力方向与速度相反
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，正确选项为（B）。
提示：注意区分速度与速率
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