kaoyan2advanced 高等数学 第174题
📝 题目
### 第174题
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_{n} \sin x_{n}}$ ，且 $\displaystyle 0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 由$\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2}x_n\sin x_n}$，令$x_n\to a$，则$\displaystyle a=\sqrt{\frac{\pi}{2}a\sin a}$，解得$a=0$或$\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$。由$\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定数列极限
设 $\lim_{n\to\infty} x_n = a$，则 $a = \sqrt{\frac{\pi}{2} a \sin a}$，解得 $a=0$ 或 $a=\frac{\pi}{2}$。由 $0
公式：$$a = \sqrt{\frac{\pi}{2} a \sin a}$$
提示：注意舍去不满足单调性的解
步骤 2/5
目标：变量代换
令 $y_n = \frac{\pi}{2} - x_n \to 0$，则 $x_n = \frac{\pi}{2} - y_n$。代入递推式：
$$\frac{\pi}{2} - y_{n+1} = \sqrt{\frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{2} - y_n\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} - y_n\right)} = \sqrt{\frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{2} - y_n\right) \cos y_n}.$$
公式：$$x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_n \sin x_n}$$
提示：注意代换后三角恒等式的应用
步骤 3/5
目标：平方展开并化简
平方得：
$$\left(\frac{\pi}{2} - y_{n+1}\right)^2 = \frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{2} - y_n\right) \cos y_n.$$
将 $\cos y_n = 1 - \frac{y_n^2}{2} + o(y_n^2)$ 代入，展开并忽略高阶项：
$$\frac{\pi^2}{4} - \pi y_{n+1} + y_{n+1}^2 = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} y_n - \frac{\pi}{4} y_n^2 + o(y_n^2).$$
比较 $y_n$ 项得 $\pi y_{n+1} = \frac{\pi}{2} y_n$，即 $y_{n+1} \sim \frac{1}{2} y_n$，但更精确地，由 $y_{n+1}^2 = \frac{y_n^2}{2} + o(y_n^2)$ 得 $\lim_{n\to\infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
公式：$$\left(\frac{\pi}{2} - y_{n+1}\right)^2 = \frac{\pi}{2} \left(\frac{\pi}{2} - y_n\right) \cos y_n$$
提示：注意泰勒展开后比较系数时忽略高阶项
步骤 4/5
目标：求目标极限
所求极限为：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sec x_n - \tan x_n}{\frac{\pi}{2} - x_n} = \lim_{y\to 0} \frac{\frac{1}{\cos y} - \frac{\sin y}{\cos y}}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{1 - \sin y}{y \cos y}.$$
利用等价无穷小：$1-\sin y \sim \frac{1}{2} y^2$，$\cos y \sim 1$，得极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：$$\lim_{y\to 0} \frac{1-\sin y}{y\cos y} = \frac{1}{2}$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 5/5
目标：答案
$$\boxed{\dfrac{1}{2}}$$
提示：注意极限计算中三角函数的处理
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。