kaoyan2advanced 高等数学 第175题
📝 题目
### 第175题
设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$ ． （2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x[1-f(x)]$ 不存在，而 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\arctan 2 x+[b-1-b f(x)] \arctan x}{\frac{\pi}{3}-\arctan x}$ 存在， $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\arctan x$ 试确定 $b$ 的值，并求 $I$ ． 建设谷题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 神㑋
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{1}{2}$；（2）$b=2$，$\displaystyle I=\frac{1}{2}$ **解析**： （1）$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan2x-\arctan x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}$，令$t=\arctan x$，则$x\to+\infty$时$\displaystyle t\to\frac{\pi}{2}^-$，$\displaystyle \arctan2x\to\frac{\pi}{2}$，原式$\displaystyle =\lim_{t\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan(\tan t)}{\frac{\pi}{2}-t}$，其中$\arctan(\tan t)=t$（$\displaystyle t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$），但$\displaystyle t\to\frac{\pi}{2}^-$时需用$\arctan(\tan t)=t-\pi$，故原式$\displaystyle =\lim_{t\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{\frac{\pi}{2}-(t-\pi)}{\frac{\pi}{2}-t}=\lim_{t\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{\frac{3\pi}{2}-t}{\frac{\pi}{2}-t}=\infty$，错误。正确做法：$\displaystyle \arctan2x-\arctan x=\arctan\frac{x}{1+2x^2}$，原式$\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan\frac{x}{1+2x^2}}{\arctan\frac{1}{x}}\sim\frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}$。 （2）设$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-\arctan x$，则$x=\cot t$，$t\to0^+$，$\displaystyle \arctan2x=\arctan(2\cot t)=\frac{\pi}{2}-\arctan(\frac{\tan t}{2})$，原极限化为$t\to0$形式，利用泰勒展开，得$b=2$，$\displaystyle I=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆