kaoyan2advanced 高等数学 第177题
📝 题目
### 第177题
设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}\left(1+b x+c x^{2}\right)-1-a x}{x^{4}}$ 存在，求常数 $a, b, c$ 的值并求此极限值．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，$\displaystyle b=-\frac{1}{2}$，$\displaystyle c=\frac{1}{8}$，极限值为$\displaystyle \frac{1}{12}$ **解析**： 将$\mathrm{e}^x$展开：$\displaystyle \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$，代入分子： $\displaystyle \mathrm{e}^x(1+bx+cx^2)-1-ax=(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))(1+bx+cx^2)-1-ax$ $\displaystyle =1+(1+b)x+(\frac{1}{2}+b+c)x^2+(\frac{1}{6}+\frac{b}{2}+c)x^3+(\frac{1}{24}+\frac{b}{6}+\frac{c}{2})x^4+o(x^4)-1-ax$ $\displaystyle =(1+b-a)x+(\frac{1}{2}+b+c)x^2+(\frac{1}{6}+\frac{b}{2}+c)x^3+(\frac{1}{24}+\frac{b}{6}+\frac{c}{2})x^4+o(x^4)$。 极限存在且分母为$x^4$，故$x,x^2,x^3$系数为0： $1+b-a=0$，$\displaystyle \frac{1}{2}+b+c=0$，$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{b}{2}+c=0$。 解得$a=1$，$\displaystyle b=-\frac{1}{2}$，$\displaystyle c=\frac{1}{8}$，极限值为$\displaystyle \frac{1}{24}+\frac{b}{6}+\frac{c}{2}=\frac{1}{24}-\frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{1}{12}$。 **难度**：★★★☆☆