kaoyan2advanced 高等数学 第178题
📝 题目
### 第178题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{a}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\alpha=3$，$\displaystyle \beta=\frac{f''(0)}{6}$ **解析**： 由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$得$f(0)=0$，$f'(0)=0$。$\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)=\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$。 $\displaystyle \int_0^x f(t)dt=\frac{f''(0)}{6}x^3+o(x^3)$。 分母$\displaystyle x^\alpha-\sin x=x^\alpha-(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3))$。 若$\alpha=1$，分母$\sim x-x=0$，需更高阶；若$\alpha=2$，分母$\sim x^2-x$，主部$x$；若$\alpha=3$，分母$\displaystyle \sim x^3-x+\frac{x^3}{6}= -x+\frac{7}{6}x^3$，主部$-x$，极限为0；若$\alpha=3$且分子为$x^3$阶，则分母需为$x^3$阶，故$\alpha=3$时，分母$\displaystyle =x^3-\sin x\sim\frac{x^3}{6}$，极限$\displaystyle \beta=\frac{f''(0)/6}{1/6}=f''(0)$。 **难度**：★★★★☆