📋 详细解题步骤
目标：确定分段函数定义域及间断点候选
函数 $f(x)$ 在 $x>0$ 时定义为 $f(x)=\frac{x(x^2-4)}{\sin \pi x}$，分母零点为 $\sin \pi x=0$，即 $x=n$（$n\in\mathbb{N}^+$），故 $x=1,2,3,\ldots$ 为候选间断点。$x\leqslant 0$ 时定义为 $f(x)=\frac{x(x+1)}{x^2-1}$，分母零点为 $x^2-1=0$，即 $x=\pm 1$，但 $x=-1$ 在定义域内，$x=1$ 不在 $x\leqslant 0$ 范围内，故 $x=-1$ 为候选间断点。另外，分段点 $x=0$ 需单独讨论。
提示：注意分段点x=0需单独讨论
目标：讨论 $x=0$ 处的连续性
左极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} \frac{x(x+1)}{x^2-1}=\frac{0\cdot 1}{-1}=0$。
右极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} \frac{x(x^2-4)}{\sin \pi x}$，利用等价无穷小 $\sin \pi x \sim \pi x$（$x\to 0$），得 $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{x(-4)}{\pi x}=-\frac{4}{\pi}$。
左右极限不相等，故 $x=0$ 为跳跃间断点。
公式：$$\sin \pi x \sim \pi x \ (x \to 0)$$
提示：注意分段函数左右极限表达式不同
目标：讨论 $x=1$ 处的连续性
当 $x>0$ 时，$x=1$ 为分母零点。分子 $1\cdot(1^2-4)= -3 \neq 0$，分母 $\sin \pi =0$，故 $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=\infty$，$x=1$ 为无穷间断点。
公式：$$\lim_{x\to 1} \frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x} = \infty$$
提示：注意分子非零分母为零导致无穷间断
目标：讨论 $x=2$ 处的连续性
当 $x>0$ 时，$x=2$ 为分母零点，分子 $2\cdot(4-4)=0$，为 $\frac{0}{0}$ 型。计算极限：$\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x(x^2-4)}{\sin \pi x}=\lim_{x\to 2} \frac{x(x-2)(x+2)}{\sin \pi (x-2)}$，令 $t=x-2\to 0$，则 $\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{(t+2)t(t+4)}{\sin \pi t}=\lim_{t\to 0} \frac{2\cdot 4 \cdot t}{\pi t}=\frac{8}{\pi}$，极限存在，故 $x=2$ 为可去间断点。
公式：$$\lim_{t\to 0} \frac{(t+2)t(t+4)}{\sin \pi t} = \frac{8}{\pi}$$
提示：注意0/0型极限用等价无穷小替换
目标：讨论 $x=-1$ 处的连续性
当 $x\leqslant 0$ 时，$x=-1$ 为分母零点。分子 $(-1)\cdot 0=0$，分母 $1-1=0$，为 $\frac{0}{0}$ 型。化简：$\displaystyle f(x)=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x}{x-1}$（$x\neq -1$），故 $\displaystyle \lim_{x\to -1} f(x)=\lim_{x\to -1} \frac{x}{x-1}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$，但 $f(-1)$ 无定义，故 $x=-1$ 为可去间断点。注意：原答案中 $x=-1$ 为无穷间断点，但此处计算极限为有限值，应为可去间断点，需根据实际极限判断。
公式：$$\lim_{x\to -1} \frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x} = \frac{1}{2}$$
提示：注意0/0型化简后极限存在
目标：总结间断点类型
综合以上分析：
- $x=0$ 为跳跃间断点（左右极限不相等）。
- $x=1$ 为无穷间断点（极限为无穷大）。
- $x=2$ 为可去间断点（极限存在且为 $\frac{8}{\pi}$）。
- $x=-1$ 为可去间断点（极限存在且为 $\frac{1}{2}$）。
注意：原答案中 $x=-1$ 被误判为无穷间断点，实际应为可去间断点。
提示：注意x=-1处极限存在，为可去间断点