kaoyan2advanced 高等数学 第180题
📝 题目
### 第180题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ，试证至少存在一个 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，且 $\beta$－ $\displaystyle \alpha=\frac{b-a}{2}$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ 。
锈估
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 令$\displaystyle F(x)=f(x)-f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)$，$\displaystyle x\in\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$。 则$\displaystyle F(a)=f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$\displaystyle F\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(b)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)=-F(a)$。 若$F(a)=0$，取$\alpha=a$，$\displaystyle \beta=\frac{a+b}{2}$；若$F(a)\neq0$，则$F(a)$与$\displaystyle F\left(\frac{a+b}{2}\right)$异号，由零点定理，存在$\displaystyle \alpha\in\left(a,\frac{a+b}{2}\right)$使$F(\alpha)=0$，即$\displaystyle f(\alpha)=f\left(\alpha+\frac{b-a}{2}\right)$，取$\displaystyle \beta=\alpha+\frac{b-a}{2}$。 **难度**：★★★☆☆