kaoyan2advanced 高等数学 第181题
📝 题目
### 第181题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求证
$$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f[\ln (1+x)]}{x^{3}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) .$ $$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(\ln(1+x))=f'(\xi)(x-\ln(1+x))$，其中$\xi$介于$x$与$\ln(1+x)$之间。 $\displaystyle x-\ln(1+x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。 又$f'(\xi)=f'(0)+f''(0)\xi+o(\xi)=f''(0)\xi+o(\xi)$，且$\xi\sim x$，故$f'(\xi)=f''(0)x+o(x)$。 原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f''(0)x\cdot\frac{x^2}{2}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{2}f''(0)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用拉格朗日中值定理
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\ln(1+x)$ 之间，使得 $f(x)-f(\ln(1+x)) = f'(\xi)(x - \ln(1+x))$。
公式：$$f(x)-f(\ln(1+x)) = f'(\xi)(x - \ln(1+x))$$
提示：注意ξ介于x与ln(1+x)之间
步骤 2/6
目标：展开 $x - \ln(1+x)$
利用泰勒展开，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，所以 $x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。
公式：$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$
提示：注意展开到二阶，余项用高阶无穷小
步骤 3/6
目标：展开 $f'(\xi)$
由于 $f'(0)=0$ 且 $f''(0)$ 存在，对 $f'(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处泰勒展开：$f'(\xi) = f'(0) + f''(0)\xi + o(\xi) = f''(0)\xi + o(\xi)$。又因为 $\xi \sim x$（当 $x \to 0$ 时），所以 $f'(\xi) = f''(0)x + o(x)$。
公式：$$f'(\xi) = f'(0) + f''(0)\xi + o(\xi) = f''(0)\xi + o(\xi)$$
提示：注意ξ与x的等价关系，展开时保留一阶项
步骤 4/6
目标：代入极限表达式
将上述结果代入原极限：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{[f''(0)x + o(x)] \cdot [\frac{x^2}{2} + o(x^2)]}{x^3}$。
提示：注意无穷小阶数的匹配
步骤 5/6
目标：化简并求极限
分子展开得 $f''(0)x \cdot \frac{x^2}{2} + o(x^3) = \frac{1}{2}f''(0)x^3 + o(x^3)$，除以 $x^3$ 得 $\frac{1}{2}f''(0) + \frac{o(x^3)}{x^3}$。当 $x \to 0$ 时，$\frac{o(x^3)}{x^3} \to 0$，故极限为 $\frac{1}{2}f''(0)$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) - f'(0)x}{x^2} = \frac{1}{2}f''(0)$$
提示：注意高阶无穷小的处理
步骤 6/6
目标：结论
因此，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f[\ln(1+x)]}{x^3} = \frac{1}{2} f''(0)$，得证。
提示：注意泰勒展开到三阶，并利用f'(0)=0简化。
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