kaoyan2advanced 高等数学 第182题
📝 题目
### 第182题
设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ． （1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式． （2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．公众号：旗胜考研
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=x$；（2）$a=1$时$g(a)$最大，最大值为$1-\sqrt{2}$ **解析**： （1）由弧长公式，$\int_0^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$最小当$f'(x)$常数，且$f(0)=1,f(1)=a$，故$f(x)=1+(a-1)x$，此时弧长$\sqrt{1+(a-1)^2}$，表达式$\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\sqrt{1+(a-1)^2}$。 （2）$\displaystyle g(a)=1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\sqrt{1+(a-1)^2}$，求导$\displaystyle g'(a)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{a-1}{\sqrt{1+(a-1)^2}}=0$，解得$a=1$，此时$\displaystyle g(1)=1+\frac{1}{\sqrt{2}}-1=\frac{1}{\sqrt{2}}$。 **难度**：★★★☆☆