kaoyan2advanced 高等数学 第183题

令 $f(x) = \arctan x - x$，则 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 = -\frac{x^2}{1+x^2} < 0$ 对 $x>0$ 成立。因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(0)=0$，故 $f(x) < 0$，即 $\arctan x < x$。

令 $g(x) = \arctan x - (x - \frac{x^3}{3})$，则 $g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 + x^2 = \frac{1 - (1+x^2) + x^2(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^4}{1+x^2} \geq 0$ 对 $x>0$ 成立。因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且 $g(0)=0$，故 $g(x) > 0$，即 $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x$。

原式 $\sum_{k=1}^n \arctan \frac{n}{n^2+k^2} = \sum_{k=1}^n \arctan \frac{1}{n + \frac{k^2}{n}}$。注意到当 $n$ 很大时，$\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} \sim \frac{1}{n}$，且 $\arctan \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} \sim \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$。

由第（1）问不等式，对 $x = \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} > 0$，有 $x - \frac{x^3}{3} < \arctan x < x$。即 $\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} - \frac{1}{3(n+\frac{k^2}{n})^3} < \arctan \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} < \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$。求和得 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} - \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+\frac{k^2}{n})^3} < \sum_{k=1}^n \arctan \frac{n}{n^2+k^2} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$。当 $n \to \infty$ 时，$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\frac{k^2}{n}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \to \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}$，而 $\frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+\frac{k^2}{n})^3} \leq \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^3} = \frac{1}{3n^2} \to 0$。由夹逼准则，原极限为 $\frac{\pi}{4}$。

因此，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \arctan \frac{n}{n^2+k^2} = \frac{\pi}{4}$。