kaoyan2advanced 高等数学 第129题
📝 题目
### 第129题
设 $f^{\prime \prime}(u)$ 连续，已知 $n \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2} x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ ，则 $n$ 应是 （A）2． （B） 1 ． （C） 4 ． （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：令$u=2x$，则$x=u/2$，$dx=du/2$，$\displaystyle n\int_0^1 x f''(2x)dx = n\int_0^2 \frac{u}{2} f''(u) \frac{du}{2} = \frac{n}{4}\int_0^2 u f''(u) du$。与右边比较得$\displaystyle \frac{n}{4}=1$，故$n=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换
令 $u = 2x$，则 $x = \frac{u}{2}$，$dx = \frac{du}{2}$。当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=1$ 时，$u=2$。
公式：$$\int_{0}^{1} x f''(2x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{u}{2} f''(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} u f''(u) \, du$$
提示：注意积分限和dx的变换
步骤 2/5
目标：代入原积分
将代换代入左边积分：$n \int_0^1 x f''(2x) dx = n \int_0^2 \frac{u}{2} f''(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{n}{4} \int_0^2 u f''(u) du$。
公式：$$n \int_0^1 x f''(2x) dx = \frac{n}{4} \int_0^2 u f''(u) du$$
提示：注意换元时积分限和微元的对应关系
步骤 3/5
目标：比较等式两边
已知等式为 $n \int_0^1 x f''(2x) dx = \int_0^2 x f''(x) dx$，即 $\frac{n}{4} \int_0^2 u f''(u) du = \int_0^2 x f''(x) dx$。由于积分变量符号无关，可写为 $\frac{n}{4} \int_0^2 x f''(x) dx = \int_0^2 x f''(x) dx$。
公式：$$\int_0^1 x f''(2x) dx = \frac{1}{4} \int_0^2 u f''(u) du$$
提示：换元时注意积分限和系数变化
步骤 4/5
目标：求解n
因为 $f''(u)$ 连续，积分 $\int_0^2 x f''(x) dx$ 不一定为零，但等式对任意连续函数 $f''$ 成立，故系数必须相等：$\frac{n}{4} = 1$，解得 $n = 4$。
公式：$$\frac{n}{4} = 1$$
提示：注意系数比较时积分结果非零
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$n$ 的值为 $4$，对应选项 (C)。
公式：$$n \int_{0}^{1} x f^{\prime\prime}(2x) \, dx = \int_{0}^{2} u f^{\prime\prime}(u) \, du$$
提示：注意换元时积分限和微元的对应关系
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