kaoyan2advanced 高等数学 第128题
📝 题目
### 第128题
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，记 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x, I_{3}= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$I_{1} 建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：令$x=\sin t$，则$I_1=\int_0^{\pi/2} f(\sin t)\cos t dt$。因$0<\cos t<1$且$f>0$，故$I_1
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：比较 I₁ 与 I₂
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$，当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。于是 $I_1 = \int_0^1 f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \cos t dt$。由于 $f(x) > 0$ 且 $0 < \cos t < 1$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，所以 $f(\sin t) \cos t < f(\sin t)$，从而 $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \cos t dt < \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) dt = I_2$，即 $I_1 < I_2$。
公式：$$I_1 = \int_0^1 f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \cos t dt$$
提示：注意换元后积分限和比较不等式方向
步骤 2/4
目标：比较 I₁ 与 I₃
在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，有 $\tan x > \sin x$。由于 $f$ 连续且 $f > 0$，则 $f(\tan x) > f(\sin x)$。令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t dt$，但更直接地，考虑 $I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) dx$ 与 $I_1$ 的关系。令 $u = \tan x$，则 $x = \arctan u$，$dx = \frac{du}{1+u^2}$，当 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$ 时，$u$ 从 $0$ 到 $1$。于是 $I_3 = \int_0^1 f(u) \cdot \frac{1}{1+u^2} du$。由于 $\frac{1}{1+u^2} < 1$ 在 $(0,1)$ 内，且 $f(u) > 0$，所以 $I_3 = \int_0^1 f(u) \cdot \frac{1}{1+u^2} du < \int_0^1 f(u) du = I_1$，即 $I_3 < I_1$。
公式：$$I_3 = \int_0^1 f(u) \cdot \frac{1}{1+u^2} du < \int_0^1 f(u) du = I_1$$
提示：注意换元后积分限和分母1+u^2<1
步骤 3/4
目标：综合比较
由前两步得到 $I_3 < I_1$ 和 $I_1 < I_2$，因此 $I_3 < I_1 < I_2$。
提示：注意不等式方向，避免混淆大小关系。
步骤 4/4
目标：答案
根据比较结果，选项 (B) 正确。
提示：注意积分不等式方向与函数大小关系一致
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