kaoyan2advanced 高等数学 第127题
📝 题目
### 第127题
设 $I_{1}=\int_{0}^{a} x^{3} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{0}^{a^{2}} x f(x) \mathrm{d} x, a>0$ ，则 （A） $2 I_{1}=I_{2}$ ． （B）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：令$t=x^2$，则$dt=2xdx$，$\displaystyle x^3 f(x^2)dx = \frac{1}{2} t f(t) dt$，积分限$0\to a^2$，故$\displaystyle I_1=\frac{1}{2}\int_0^{a^2} t f(t) dt = \frac{1}{2} I_2$，即$2I_1=I_2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分变换方法
观察 $I_1$ 中的被积函数 $x^3 f(x^2)$，其自变量为 $x^2$，考虑使用换元法，令 $t = x^2$，则 $dt = 2x dx$，即 $x dx = \frac{1}{2} dt$。
公式：$$t = x^2, \quad dt = 2x \, dx, \quad x \, dx = \frac{1}{2} dt$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/4
目标：对 $I_1$ 进行换元
将 $x^3 f(x^2) dx$ 改写为 $x^2 \cdot x f(x^2) dx = t \cdot \frac{1}{2} f(t) dt = \frac{1}{2} t f(t) dt$。积分限：当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=a$ 时 $t=a^2$。因此 $I_1 = \int_0^{a^2} \frac{1}{2} t f(t) dt = \frac{1}{2} \int_0^{a^2} t f(t) dt$。
公式：$$\int x^3 f(x^2) dx = \frac{1}{2} \int t f(t) dt, \ t=x^2$$
提示：注意换元后积分限和微分对应
步骤 3/4
目标：比较 $I_1$ 与 $I_2$
由 $I_2 = \int_0^{a^2} x f(x) dx$，注意到积分变量名称可任意替换，因此 $\int_0^{a^2} t f(t) dt = I_2$。于是 $I_1 = \frac{1}{2} I_2$，即 $2I_1 = I_2$。
公式：$$I_1 = \frac{1}{2} I_2$$
提示：注意换元后积分限和变量替换
步骤 4/4
目标：得出结论
根据推导，$2I_1 = I_2$，对应选项（A）。
公式：$$\int_{0}^{a} x^{3} f(x^{2}) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{a^{2}} u f(u) du$$
提示：注意换元时积分限和微元的变换
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