kaoyan2advanced 高等数学 第126题
📝 题目
### 第126题
f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 （A） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 一定成立． （B） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 不可能成立。 （C） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)$ 是单调函数时成立． （D） $\int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x=0$ 仅当 $f(x)=0$ 时成立。$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由$f(x)$在$[a,b]$上连续且$\int_a^b f(x)dx=0$，若$\int_a^b [f(x)]^2 dx=0$，则$f(x)\equiv0$，反之亦然。故仅当$f(x)=0$时成立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 0$。
提示：注意积分值为零不一定函数恒为零
步骤 2/5
目标：考虑平方积分为零的条件
若 $\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx = 0$，由于 $[f(x)]^2 \geq 0$ 且 $f(x)$ 连续，根据连续非负函数积分为零的性质，必有 $[f(x)]^2 \equiv 0$，即 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a, b]$ 上。
提示：注意连续非负函数积分为零推出函数恒为零
步骤 3/5
目标：验证充分性
反之，若 $f(x) \equiv 0$，则 $\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx = \int_{a}^{b} 0 \, dx = 0$，因此 $\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx = 0$ 当且仅当 $f(x) = 0$。
公式：$$\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx = 0 \iff f(x) \equiv 0$$
提示：注意平方非负性，积分零推不出处处零。
步骤 4/5
目标：排除其他选项
选项（A）不一定成立，因为 $\int_a^b f(x) dx = 0$ 不能推出 $f(x) \equiv 0$，例如 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上；选项（B）错误，因为 $f(x) \equiv 0$ 时成立；选项（C）错误，因为单调性不是必要条件。
提示：注意反例构造，如f(x)=sinx
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$\int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx = 0$ 仅当 $f(x) = 0$ 时成立，对应选项（D）。
提示：注意连续函数平方积分为零的充要条件
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