kaoyan2advanced 高等数学 第130题
📝 题目
### 第130题
下列关于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} \mathrm{d} x$ 的结论正确的是 （A）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都发散． （B）对任意的实数 $\alpha$ ，该反常积分都收敛． （C）当且仅当 $\alpha=0$ 时，该反常积分收敛． （D）当且仅当 $\alpha \neq 0$ 时，该反常积分收敛． 建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：令$x=1/t$，则$dx=-dt/t^2$，积分化为$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+x^\alpha)}dx = \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+x^{-\alpha})}dx$，相加得$\displaystyle 2I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$，故对任意$\alpha$收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分收敛性
考虑反常积分 $\displaystyle I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{\alpha})} \mathrm{d}x$。由于被积函数在 $[0,+\infty)$ 上非负，且 $x=0$ 和 $x\to+\infty$ 是可能的奇点，需要分别讨论。
提示：注意分段讨论奇点
步骤 2/5
目标：变量代换
令 $x = \frac{1}{t}$，则 $\mathrm{d}x = -\frac{1}{t^{2}}\mathrm{d}t$，且当 $x=0$ 时 $t=+\infty$，当 $x=+\infty$ 时 $t=0$。代入得：
$$I = \int_{+\infty}^{0} \frac{1}{(1+\frac{1}{t^{2}})(1+\frac{1}{t^{\alpha}})} \cdot \left(-\frac{1}{t^{2}}\right) \mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+t^{2})(1+t^{-\alpha})} \mathrm{d}t.$$
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{a})} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+t^{2})(1+t^{-a})} \mathrm{d}t$$
提示：注意积分限变换和符号处理
步骤 3/5
目标：对称性处理
将原积分与代换后的积分相加：
$$2I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{\alpha})} \mathrm{d}x + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{-\alpha})} \mathrm{d}x.$$
注意到 $\frac{1}{1+x^{\alpha}} + \frac{1}{1+x^{-\alpha}} = \frac{1}{1+x^{\alpha}} + \frac{x^{\alpha}}{1+x^{\alpha}} = 1$，因此：
$$2I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x.$$
公式：$$\frac{1}{1+x^{\alpha}} + \frac{1}{1+x^{-\alpha}} = 1$$
提示：注意代换后分母形式变化
步骤 4/5
目标：计算定积分
计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \left[ \arctan x \right]_{0}^{+\infty} = \frac{\pi}{2}$。因此 $2I = \frac{\pi}{2}$，即 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$
提示：注意积分限代入时arctan无穷的极限
步骤 5/5
目标：结论
反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{\alpha})} \mathrm{d}x$ 对任意实数 $\alpha$ 都收敛，且值为 $\frac{\pi}{4}$。因此正确选项为 (B)。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^{2})(1+x^{\alpha})} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$$
提示：注意α为任意实数，积分恒收敛。
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