kaoyan2advanced 高等数学 第131题
📝 题目
### 第131题
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）-1 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$\int_1^{+\infty} f'(x)dx$收敛，知$\lim_{x\to+\infty} f(x)$存在。又$\int_1^{+\infty} f(x)dx$收敛，则$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续可导，且广义积分 $\int_1^{+\infty} f(x) \, dx$ 和 $\int_1^{+\infty} f'(x) \, dx$ 均收敛。
提示：注意连续可导与积分收敛的条件
步骤 2/4
目标：由 $\int_1^{+\infty} f'(x) dx$ 收敛推导极限存在
由于 $\int_1^{+\infty} f'(x) \, dx$ 收敛，根据广义积分的定义，有 $\lim_{b \to +\infty} \int_1^b f'(x) \, dx$ 存在。而 $\int_1^b f'(x) \, dx = f(b) - f(1)$，因此 $\lim_{b \to +\infty} f(b)$ 存在，记 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$。
公式：$$\int_1^b f'(x) \, dx = f(b) - f(1)$$
提示：注意广义积分收敛与极限存在的关系
步骤 3/4
目标：由 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 收敛推导极限值为0
若 $L \neq 0$，则存在 $X > 0$，当 $x > X$ 时，$|f(x)| > \frac{|L|}{2}$，从而 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散（因为被积函数不趋于0），与 $\int_1^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛矛盾。因此必有 $L = 0$。
提示：注意反证法：极限非零则积分必发散
步骤 4/4
目标：得出结论
所以 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，对应选项 (B)。
提示：注意广义积分收敛与极限的关系
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