📝 题目
### 第206题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 试问 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处，（1）是否连续？（2）偏导数是否存在？（3）是否可微？ 建议答题时问 $\leqslant 8 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）可微 **解析**： 步骤1：连续性。$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = 0$（有界量乘无穷小），且 $f(0,0)=0$，故连续。 步骤2：偏导数。$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{h^{2} \sin \frac{1}{|h|}}{h} = \lim_{h\to0} h \sin \frac{1}{|h|} = 0$，同理 $f_y(0,0)=0$，故偏导数存在。 步骤3：可微性。$\displaystyle \Delta z - [f_x(0,0)h + f_y(0,0)k] = (h^{2}+k^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}$，$\displaystyle \frac{|\Delta z|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \sqrt{h^{2}+k^{2}} |\sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}| \le \sqrt{h^{2}+k^{2}} \to 0$，故可微。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：判断连续性
计算极限 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。由于 $\displaystyle \left|\sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \leq 1$，且 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) = 0$，根据有界量乘无穷小仍为无穷小，得极限为 $0$。又 $f(0,0)=0$，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = 0$$
提示：注意有界量乘无穷小极限为0
目标：步骤2：判断偏导数是否存在
由定义，$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^{2} \sin \frac{1}{|h|}}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin \frac{1}{|h|} = 0$（有界量乘无穷小）。同理，$\displaystyle f_y(0,0)=\lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} k \sin \frac{1}{|k|} = 0$。故偏导数存在且均为 $0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$
提示：注意极限中有界量乘无穷小为0
目标：步骤3：判断可微性
考虑增量 $\Delta z = f(h,k)-f(0,0) = (h^{2}+k^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}$。由于 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，则 $\Delta z - [f_x(0,0)h + f_y(0,0)k] = (h^{2}+k^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}$。计算 $\displaystyle \frac{|\Delta z|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \sqrt{h^{2}+k^{2}} \left|\sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \leq \sqrt{h^{2}+k^{2}} \to 0$（当 $(h,k)\to(0,0)$）。因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
公式：$$\Delta z = (h^{2}+k^{2}) \sin \frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}$$
提示：注意极限趋于0时需用绝对值不等式放缩
目标：步骤4：给出答案
（1）连续；（2）偏导数存在；（3）可微。
提示：注意区分连续、偏导存在与可微的关系