kaoyan2advanced 高等数学 第205题
📝 题目
### 第205题
设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 管题区或
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💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：必要性。若 $f(x,y)=g(ax+by)$，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=a g'$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=b g'$，故 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=ab g' = a \frac{\partial z}{\partial y}$。 步骤2：充分性。令 $u=ax+by$，$v=x$，则 $\displaystyle z=f(x,y)=f(v, \frac{u-av}{b})$。计算 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot (-\frac{a}{b}) = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{a}{b} \frac{\partial f}{\partial y}$。由条件 $\displaystyle b \frac{\partial f}{\partial x} = a \frac{\partial f}{\partial y}$，得 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{a}{b} \frac{\partial f}{\partial y}=0$，故 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=0$，即 $z$ 与 $v$ 无关，只与 $u$ 有关，故存在可微函数 $g$ 使 $f(x,y)=g(ax+by)$。 **难度**：★★☆☆☆