📝 题目
### 第207题
设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\operatorname{dg}(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由 $g(0,0)=0$ 且 $\mathrm{d}g(0,0)=0$，知 $g(x,y)=o(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$，即 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{g(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$。 步骤2：$f(0,0)=0$，$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to0} \frac{g(h,0)\sin\frac{1}{|h|}}{h}=0$（因为 $g(h,0)=o(|h|)$），同理 $f_y(0,0)=0$。 步骤3：$\displaystyle \Delta f = f(x,y)-f(0,0)=g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，则 $\displaystyle \frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} |\sin\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}| \le \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \to 0$，故 $f$ 在 $(0,0)$ 可微且 $\mathrm{d}f(0,0)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：利用可微条件推导g(x,y)的阶
由 $g(0,0)=0$ 且 $\mathrm{d}g(0,0)=0$，根据可微的定义，有 $g(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0)x+g_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})=o(\sqrt{x^2+y^2})$，即 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{g(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。
公式：$$g(x,y)=g(0,0)+g_x(0,0)x+g_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})=o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意可微定义中高阶无穷小的阶数
目标：计算f在(0,0)处的偏导数
由定义，$f(0,0)=0$。计算 $f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)\sin\frac{1}{|h|}}{h}$。由于 $g(h,0)=o(|h|)$，故 $\frac{g(h,0)}{h}\to0$，而 $\sin\frac{1}{|h|}$ 有界，因此极限为0，即 $f_x(0,0)=0$。同理可得 $f_y(0,0)=0$。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)\sin\frac{1}{|h|}}{h}$$
提示：注意有界量乘无穷小仍为无穷小
目标：验证可微性定义
考虑增量 $\Delta f = f(x,y)-f(0,0)=g(x,y)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$。则 $\frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$（当 $(x,y)\to(0,0)$）。因此 $\Delta f = 0\cdot x + 0\cdot y + o(\sqrt{x^2+y^2})$，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d}f(0,0)=0$。
公式：$$\frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|g(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$$
提示：注意有界量乘以无穷小仍为无穷小
目标：结论
综上，$f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d}f(0,0)=0$。
公式：$$\mathrm{d}f(0,0)=0$$
提示：注意可微定义中线性逼近的条件