kaoyan2advanced 高等数学 第208题
📝 题目
### 第208题
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某邻域有定义，极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 存在，$g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $g(0,0)=0$ ．证明：$z=f(x, y) \cdot g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=A$，则 $f(x,y)=A+\alpha(x,y)$，其中 $\alpha(x,y)\to0$。则 $z=f(x,y)g(x,y)=A g(x,y) + \alpha(x,y) g(x,y)$。 步骤2：$g$ 在 $(0,0)$ 可微且 $g(0,0)=0$，故 $g(x,y)=o(1)$，且 $g(x,y)=g_x(0,0)x+g_y(0,0)y+o(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$。则 $A g(x,y)$ 可微，而 $\alpha(x,y) g(x,y)=o(1) \cdot o(1)=o(1)$，且 $\displaystyle \frac{|\alpha g|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le |\alpha| \cdot \frac{|g|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \to 0$（因为 $\displaystyle \frac{|g|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 有界），故 $z$ 可微。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：引入极限值并分解函数
设 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=A$，则 $f(x,y)=A+\alpha(x,y)$，其中 $\alpha(x,y)\to 0$（当 $(x,y)\to(0,0)$）。于是 $z=f(x,y)g(x,y)=A g(x,y)+\alpha(x,y)g(x,y)$。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=A \Rightarrow f(x,y)=A+\alpha(x,y),\ \alpha(x,y)\to 0$$
提示：注意α(x,y)是无穷小量，需与g(x,y)有界性结合
步骤 2/6
目标：步骤2：利用可微性写出g的表达式
由于 $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $g(0,0)=0$，故存在常数 $a,b$ 使得 $g(x,y)=a x+b y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，其中 $a=g_x(0,0), b=g_y(0,0)$。同时 $g(x,y)=o(1)$。
公式：$$g(x,y)=a x+b y+o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意可微定义中线性主部与高阶无穷小的关系
步骤 3/6
目标：步骤3：分析第一项的可微性
第一项 $A g(x,y)=A(a x+b y)+A\cdot o(\sqrt{x^2+y^2})$。由于 $A(a x+b y)$ 是线性函数，而 $A\cdot o(\sqrt{x^2+y^2})=o(\sqrt{x^2+y^2})$，因此 $A g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
公式：$$A g(x,y)=A(a x+b y)+A\cdot o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意线性部分与高阶无穷小的处理
步骤 4/6
目标：步骤4：分析第二项的高阶无穷小性质
第二项 $\alpha(x,y)g(x,y)$ 中，$\alpha(x,y)\to 0$，$g(x,y)=o(1)$，故 $\alpha g = o(1)$。进一步，考虑 $\frac{|\alpha g|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq |\alpha| \cdot \frac{|g|}{\sqrt{x^2+y^2}}$。由于 $\frac{|g|}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在 $(0,0)$ 附近有界（因为 $g$ 可微且 $g(0,0)=0$），而 $|\alpha|\to 0$，所以 $\frac{|\alpha g|}{\sqrt{x^2+y^2}}\to 0$，即 $\alpha g = o(\sqrt{x^2+y^2})$。
公式：$$\frac{|\alpha g|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq |\alpha| \cdot \frac{|g|}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
提示：注意有界性需结合可微条件
步骤 5/6
目标：步骤5：综合判断z的可微性
由步骤3和步骤4，$z=A g(x,y)+\alpha g = [A(a x+b y)+o(\sqrt{x^2+y^2})] + o(\sqrt{x^2+y^2}) = A a x + A b y + o(\sqrt{x^2+y^2})$。这表明 $z$ 在 $(0,0)$ 处可微，且全微分为 $dz = A a \,dx + A b \,dy$。
公式：$$z = A a x + A b y + o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意高阶无穷小的合并与可微定义
步骤 6/6
目标：步骤6：结论
因此，$z=f(x,y)\cdot g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
提示：注意可微定义中线性主部唯一性
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