kaoyan2advanced 高等数学 第17题
📝 题目
### 第17题
已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}=1$ 所确定，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
锦估
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**：步骤1：方程两边对$x$求导，得$e^y y' + 6y + 6xy' + 2x = 0$。代入$x=0$，由原方程得$e^y=1$，即$y=0$，得$y'(0)=0$。 步骤2：对导函数方程再求导，得$e^y (y')^2 + e^y y'' + 6y' + 6y' + 6xy'' + 2 = 0$。代入$x=0, y=0, y'(0)=0$，得$y''(0) + 2 = 0$，故$y''(0) = -2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：代入初始条件求y(0)
将 $x=0$ 代入原方程 $\mathrm{e}^{y}+6xy+x^{2}=1$，得 $\mathrm{e}^{y}=1$，解得 $y=0$，即 $f(0)=0$。
提示：代入x=0时注意方程中所有含x项为零
步骤 2/6
目标：方程两边对x求导
对原方程两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：$\mathrm{e}^{y} y' + 6y + 6xy' + 2x = 0$。
公式：$$\mathrm{e}^{y} y' + 6y + 6xy' + 2x = 0$$
提示：注意y是x的函数，求导时要用链式法则
步骤 3/6
目标：求一阶导数在x=0处的值
将 $x=0$，$y=0$ 代入导函数方程：$\mathrm{e}^{0} y'(0) + 6\cdot 0 + 6\cdot 0 \cdot y'(0) + 2\cdot 0 = 0$，即 $y'(0)=0$，所以 $f'(0)=0$。
提示：代入时注意y(0)=0
步骤 4/6
目标：对导函数方程再次求导
对 $\mathrm{e}^{y} y' + 6y + 6xy' + 2x = 0$ 两边再对 $x$ 求导，得 $\mathrm{e}^{y}(y')^2 + \mathrm{e}^{y} y'' + 6y' + 6y' + 6xy'' + 2 = 0$，即 $\mathrm{e}^{y}(y')^2 + \mathrm{e}^{y} y'' + 12y' + 6xy'' + 2 = 0$。
公式：$$\mathrm{e}^{y}(y')^2 + \mathrm{e}^{y} y'' + 12y' + 6xy'' + 2 = 0$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数，y'和y''需连续求导。
步骤 5/6
目标：代入已知条件求二阶导数
将 $x=0$，$y=0$，$y'(0)=0$ 代入上式：$\mathrm{e}^{0}\cdot 0 + \mathrm{e}^{0} y''(0) + 12\cdot 0 + 6\cdot 0 \cdot y''(0) + 2 = 0$，即 $y''(0) + 2 = 0$，解得 $y''(0) = -2$。
公式：$$\mathrm{e}^{y}y'' + \mathrm{e}^{y}(y')^2 + 12y + 12xy' + 6xy'' + 6y' + 2 = 0$$
提示：注意隐函数求导时链式法则的应用
步骤 6/6
目标：得出答案
因此 $f''(0) = -2$。
公式：$$y'' = -\frac{F_{xx}F_y^2 - 2F_{xy}F_xF_y + F_{yy}F_x^2}{F_y^3}$$
提示：隐函数求导时注意y是x的函数
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