kaoyan2advanced 高等数学 第18题
📝 题目
### 第18题
设 $y=y(x)$ 由 $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{2a^3 xy}{(y^2 - ax)^3}$ **解析**：步骤1：方程两边对$x$求导，$3x^2 + 3y^2 y' - 3a y - 3a x y' = 0$，解得$\displaystyle y' = \frac{a y - x^2}{y^2 - a x}$。 步骤2：对$y'$再求导，利用隐函数求导公式化简，得$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{2a^3 xy}{(y^2 - a x)^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：第一步：对方程两边求导
方程 $x^3 + y^3 - 3axy = 0$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，得：
$$3x^2 + 3y^2 y' - 3ay - 3ax y' = 0$$
公式：$$3x^2 + 3y^2 y' - 3ay - 3ax y' = 0$$
提示：注意y是x的函数，求导时要用链式法则
步骤 2/5
目标：第二步：解出 $y'$
整理上式：
$$3x^2 - 3ay + (3y^2 - 3ax)y' = 0$$
两边除以 3：
$$x^2 - ay + (y^2 - ax)y' = 0$$
解得：
$$y' = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$$
公式：$$y' = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数
步骤 3/5
目标：第三步：对 $y'$ 再次求导
对 $y' = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$ 两边对 $x$ 求导，使用商的求导法则：
$$y'' = \frac{(ay' - 2x)(y^2 - ax) - (ay - x^2)(2y y' - a)}{(y^2 - ax)^2}$$
公式：$$y'' = \frac{(ay' - 2x)(y^2 - ax) - (ay - x^2)(2y y' - a)}{(y^2 - ax)^2}$$
提示：注意对y求导时要用链式法则
步骤 4/5
目标：第四步：代入 $y'$ 并化简分子
将 $y' = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$ 代入分子，并化简。分子为：
$$(a \cdot \frac{ay - x^2}{y^2 - ax} - 2x)(y^2 - ax) - (ay - x^2)(2y \cdot \frac{ay - x^2}{y^2 - ax} - a)$$
通分后分子化为：
$$(a(ay - x^2) - 2x(y^2 - ax))(y^2 - ax) - (ay - x^2)(2y(ay - x^2) - a(y^2 - ax))$$
展开并合并同类项，最终得到分子为 $-2a^3 xy$。
提示：通分时注意分子各项符号，避免展开错误
步骤 5/5
目标：第五步：写出二阶导数表达式
因此：
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{2a^3 xy}{(y^2 - ax)^3}$$
公式：$$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{2a^3 xy}{(y^2 - ax)^3}$$
提示：注意分母是(y^2-ax)的三次方，不要漏掉负号。
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