kaoyan2advanced 高等数学 第19题
📝 题目
### 第19题
设函数 $y=\ln (x+3)$ ，则 $y^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$。
建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{3^n}$ **解析**：步骤1：$y = \ln(x+3)$，则$\displaystyle y' = \frac{1}{x+3}$，$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! (x+3)^{-n}$。 步骤2：代入$x=0$，得$\displaystyle y^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{3^n}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数
由 $y = \ln(x+3)$，根据复合函数求导法则，得 $y' = \frac{1}{x+3}$。
公式：$$y' = \frac{1}{x+3}$$
提示：注意复合函数求导法则
步骤 2/4
目标：归纳高阶导数公式
观察 $y' = (x+3)^{-1}$，其高阶导数形式为 $y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! (x+3)^{-n}$，其中 $n \geq 1$。
公式：$$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! (x+3)^{-n}$$
提示：注意n从1开始，代入x=0时需小心符号
步骤 3/4
目标：代入 $x=0$
将 $x=0$ 代入上述公式，得 $y^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} (n-1)! (0+3)^{-n} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{3^n}$。
公式：$$y^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (n-1)! (x+3)^{-n}$$
提示：注意n从1开始，代入x=0时小心符号
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，$y^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{3^n}$。
公式：$$y^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+3)^n}$$
提示：注意n=1时公式也成立，代入x=0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。