kaoyan2advanced 高等数学 第20题
📝 题目
### 第20题
20设 $f^{\prime \prime}(a)$ 存在，$f^{\prime}(a) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{1}{f^{\prime}(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right]=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}$ **解析**：步骤1：通分，原式$\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)[f(x)-f(a)]}$。 步骤2：分母等价于$f'(a)(x-a) \cdot f'(a)(x-a) = [f'(a)]^2 (x-a)^2$，分子用泰勒展开$\displaystyle f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+o((x-a)^2)$，代入得极限为$\displaystyle \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：通分化简
原式 $\displaystyle \lim_{x \to a}\left[\frac{1}{f'(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right] = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)[f(x)-f(a)]}$。
公式：$$\lim_{x \to a}\left[\frac{1}{f'(a)(x-a)}-\frac{1}{f(x)-f(a)}\right] = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)[f(x)-f(a)]}$$
提示：注意分母通分时不要漏项
步骤 2/5
目标：分母等价替换
由于 $x \to a$ 时 $f(x)-f(a) \sim f'(a)(x-a)$，分母等价于 $f'(a)(x-a) \cdot f'(a)(x-a) = [f'(a)]^2 (x-a)^2$。
公式：$$f(x)-f(a) \sim f'(a)(x-a)$$
提示：注意分母是两个等价无穷小相乘
步骤 3/5
目标：分子泰勒展开
将 $f(x)$ 在 $x=a$ 处泰勒展开：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)$，则分子 $f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) = \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)$。
公式：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)$$
提示：注意余项为高阶无穷小
步骤 4/5
目标：代入求极限
代入得：$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)}{[f'(a)]^2 (x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}$。
公式：$$\lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)}{[f'(a)]^2 (x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}$$
提示：注意分母平方和分子高阶无穷小处理
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，极限值为 $\displaystyle \frac{f''(a)}{2[f'(a)]^2}$。
公式：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)}{(x-a)^2} = \frac{f''(a)}{2}$$
提示：注意分母是平方，分子需泰勒展开到二阶
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