kaoyan2advanced 高等数学 第21题
📝 题目
### 第21题
已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**：步骤1：曲线$y=\ln x$的切线斜率为$\displaystyle \frac{1}{x}$，设切点为$(x_0, \ln x_0)$，切线方程为$\displaystyle y-\ln x_0 = \frac{1}{x_0}(x-x_0)$。此切线过$(0,1)$，代入得$\displaystyle 1-\ln x_0 = -\frac{x_0}{x_0} = -1$，解得$x_0= e^2$，切线斜率$\displaystyle k = \frac{1}{e^2}$。故$\displaystyle f'(0)=\frac{1}{e^2}$，且$f(0)=1$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-f(0)}{x+\sin x}$，由导数定义，分子$\sim f'(0) \sin x$，分母$\sim 2x$，故极限$\displaystyle = \frac{f'(0)}{2} = \frac{1}{2e^2}$。 （注：原题答案应为$\displaystyle \frac{1}{2e^2}$，但题目所给选项或填空格式需核对，此处按计算给出。） **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定切线斜率与函数信息
曲线 $y=\ln x$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x}$，设切点为 $(x_0, \ln x_0)$，则切线方程为 $y-\ln x_0 = \frac{1}{x_0}(x-x_0)$。由于切线过点 $(0,1)$，代入得 $1-\ln x_0 = \frac{1}{x_0}(0-x_0) = -1$，解得 $\ln x_0 = 2$，即 $x_0 = e^2$。切线斜率 $k = \frac{1}{e^2}$。由题意，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线斜率等于该斜率，故 $f'(0)=\frac{1}{e^2}$，且 $f(0)=1$。
提示：注意切线过点(0,1)代入时符号处理
步骤 2/5
目标：转化极限表达式
所求极限为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}$。由于 $f(0)=1$，分子可写为 $f(\sin x)-f(0)$，即 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-f(0)}{x+\sin x}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-f(0)}{x+\sin x}$$
提示：注意分子用f(0)替换1
步骤 3/5
目标：应用导数定义进行等价代换
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \to 0$，由导数定义，$f(\sin x)-f(0) \sim f'(0) \sin x$，即分子等价于 $\frac{1}{e^2} \sin x$。分母 $x+\sin x$ 在 $x \to 0$ 时等价于 $x + x = 2x$（因为 $\sin x \sim x$）。
公式：$$f(\sin x)-f(0) \sim f'(0) \sin x, \quad \sin x \sim x$$
提示：注意等价代换的条件和精度
步骤 4/5
目标：计算极限值
因此，极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^2} \sin x}{2x} = \frac{1}{2e^2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2e^2} \cdot 1 = \frac{1}{2e^2}$。
提示：注意等价无穷小替换和极限运算法则
步骤 5/5
目标：得出最终答案
故所求极限值为 $\displaystyle \frac{1}{2e^2}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-1}{x} = f'(0)$$
提示：注意切点条件与导数定义结合
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