kaoyan2advanced 高等数学 第22题
📝 题目
### 第22题
已知任意 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1-\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
锌佔
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：由$0 \le f(x) \le 1-e^{-x^2}$，且$1-e^{-x^2} \le 1$，故$f(x)$有界。又$f''(x) \ge 0$，则$f(x)$是凸函数。 步骤2：若$f(x)$非常数，则凸函数无上界，与$f(x) \le 1$矛盾，故$f(x)$必为常数。由$0 \le f(x) \le 1-e^{-x^2}$，令$x \to \infty$，得$f(x)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数性质
已知 $0 \leq f(x) \leq 1 - e^{-x^2}$，且 $1 - e^{-x^2} \leq 1$，故 $f(x)$ 有界。又 $f''(x) \geq 0$，则 $f(x)$ 是凸函数。
提示：凸函数二阶导非负，有界性由不等式推出
步骤 2/5
目标：反证法判断常数性
若 $f(x)$ 非常数，则凸函数在 $(-\infty, +\infty)$ 上无上界，与 $f(x) \leq 1$ 矛盾，故 $f(x)$ 必为常数。
提示：凸函数无上界需严格证明
步骤 3/5
目标：确定常数取值
设 $f(x) = C$（常数），由 $0 \leq C \leq 1 - e^{-x^2}$ 对任意 $x$ 成立。令 $x \to \infty$，则 $1 - e^{-x^2} \to 1$，但更关键的是，令 $x \to 0$，则 $1 - e^{-x^2} \to 0$，由夹逼性得 $C = 0$。
提示：注意夹逼性确定常数时需考虑所有x
步骤 4/5
目标：验证结果
当 $f(x) = 0$ 时，满足 $f''(x) = 0 \geq 0$ 且 $0 \leq 0 \leq 1 - e^{-x^2}$，符合条件。
提示：验证边界条件时需检查所有不等式
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$f(x) = 0$。
提示：注意二阶导非负与有界性结合推出常函数
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