kaoyan2advanced 高等数学 第60题
📝 题目
### 第60题
设 $f(x, y)$ 可微，且满足条件 $\displaystyle \frac{f_{y}^{\prime}(0, y)}{f(0, y)}=\cot y, \frac{\partial f}{\partial x}=-f(x, y), f\left(0, \frac{\pi}{2}\right)=1$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$e^{-x}\sin y$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{f_y'(0,y)}{f(0,y)}=\cot y$，积分得$\ln|f(0,y)|=\ln|\sin y|+C$，故$f(0,y)=C\sin y$。 步骤2：由$f(0,\pi/2)=1$得$C=1$，故$f(0,y)=\sin y$。 步骤3：由$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-f$，解得$f(x,y)=f(0,y)e^{-x}=e^{-x}\sin y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用条件求f(0,y)的表达式
由条件 $\frac{f_y'(0,y)}{f(0,y)}=\cot y$，两边对 $y$ 积分得 $\ln|f(0,y)|=\ln|\sin y|+C$，故 $f(0,y)=C\sin y$，其中 $C$ 为常数。
公式：$$\frac{f_y'(0,y)}{f(0,y)}=\cot y$$
提示：注意积分后常数处理
步骤 2/4
目标：代入初始条件确定常数C
由 $f\left(0,\frac{\pi}{2}\right)=1$，代入得 $1=C\sin\frac{\pi}{2}=C$，所以 $C=1$，即 $f(0,y)=\sin y$。
公式：$$f(0, y) = C \sin y$$
提示：代入时注意函数定义域
步骤 3/4
目标：利用偏微分方程求解f(x,y)
由 $\frac{\partial f}{\partial x}=-f(x,y)$，这是关于 $x$ 的一阶线性齐次偏微分方程，解得 $f(x,y)=f(0,y)e^{-x}$。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = -f(x, y)$$
提示：注意一阶线性齐次偏微分方程的解法
步骤 4/4
目标：代入f(0,y)得到最终表达式
将 $f(0,y)=\sin y$ 代入得 $f(x,y)=e^{-x}\sin y$。
提示：注意代入时变量对应关系
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