kaoyan2advanced 高等数学 第59题
📝 题目
### 第59题
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=f\left(x^{2}+y^{2}\right)+f(x+y)$ 所确定，且 $y(0)=2$ ，其中 $f(u)$具有连续的导数，$\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{7}$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求导：$y'=f'(x^2+y^2)\cdot(2x+2yy')+f'(x+y)\cdot(1+y')$。 步骤2：代入$x=0,y=2$，得$y'(0)=f'(4)\cdot(0+4y'(0))+f'(2)\cdot(1+y'(0))$。 步骤3：代入$\displaystyle f'(4)=1,f'(2)=\frac{1}{2}$，得$\displaystyle y'=4y'+\frac{1}{2}(1+y')$，即$\displaystyle y'=4y'+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}y'$。 步骤4：整理得$\displaystyle y'-\frac{9}{2}y'=\frac{1}{2}$，即$\displaystyle -\frac{7}{2}y'=\frac{1}{2}$，解得$\displaystyle y'=-\frac{1}{7}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：方程两边对x求导
由方程 $y = f(x^2 + y^2) + f(x + y)$，两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，得：
$$y' = f'(x^2 + y^2) \cdot (2x + 2yy') + f'(x + y) \cdot (1 + y')$$
公式：$$y' = f'(x^2+y^2) \cdot (2x + 2yy') + f'(x+y) \cdot (1 + y')$$
提示：注意y是x的函数，求导时需用链式法则
步骤 2/5
目标：代入初始条件
已知 $y(0) = 2$，代入 $x = 0, y = 2$ 到导数方程中：
$$y'(0) = f'(0^2 + 2^2) \cdot (2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \cdot y'(0)) + f'(0 + 2) \cdot (1 + y'(0))$$
即 $$y'(0) = f'(4) \cdot (4y'(0)) + f'(2) \cdot (1 + y'(0))$$
提示：代入时注意y'(0)是未知数，需解方程
步骤 3/5
目标：代入导数值
已知 $f'(4) = 1$，$f'(2) = \frac{1}{2}$，代入得：
$$y'(0) = 1 \cdot (4y'(0)) + \frac{1}{2} \cdot (1 + y'(0))$$
即 $$y' = 4y' + \frac{1}{2}(1 + y')$$
公式：$$y'(0) = f'(4) \cdot (2x + 2y y')|_{x=0} + f'(2) \cdot (1 + y')|_{x=0}$$
提示：注意复合函数求导时对y的依赖
步骤 4/5
目标：整理方程
展开并移项：
$$y' = 4y' + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y'$$
$$y' - 4y' - \frac{1}{2}y' = \frac{1}{2}$$
$$-\frac{7}{2}y' = \frac{1}{2}$$
提示：注意移项时系数符号
步骤 5/5
目标：求解导数
解得：
$$y' = -\frac{1}{7}$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数
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