kaoyan2advanced 高等数学 第191题
📝 题目
### 第191题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$ ． 试证存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令 $F(x)=e^{\int f(x)dx}$ 形式，构造 $g(x)=e^{\int_0^x f(t)dt}$，则 $g'(x)=f(x)g(x)$。 步骤2：考虑 $h(x)=f(x)e^{\int_0^x f(t)dt}$，则 $h'(x)=[f'(x)+f^2(x)]e^{\int_0^x f(t)dt}$。 步骤3：由 $f(a)=f(b)=0$，$h(a)=h(b)=0$，由罗尔定理存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $h'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)+f^2(\xi)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = e^{\int_a^x f(t) dt}$，则 $F'(x) = f(x) e^{\int_a^x f(t) dt}$。再令 $h(x) = f(x) e^{\int_a^x f(t) dt}$，则 $h(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
提示：注意构造辅助函数时指数积分形式
步骤 2/5
目标：计算导数
对 $h(x)$ 求导：$h'(x) = f'(x) e^{\int_a^x f(t) dt} + f(x) \cdot f(x) e^{\int_a^x f(t) dt} = [f'(x) + f^2(x)] e^{\int_a^x f(t) dt}$。
公式：$$h'(x) = [f'(x) + f^2(x)] e^{\int_a^x f(t) dt}$$
提示：注意乘积法则和链式法则的运用
步骤 3/5
目标：验证端点值
由 $f(a)=f(b)=0$，得 $h(a)=f(a) e^{\int_a^a f(t) dt}=0$，$h(b)=f(b) e^{\int_a^b f(t) dt}=0$，故 $h(a)=h(b)=0$。
提示：注意端点值代入时积分上下限相同
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理
由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $h'(\xi)=0$，即 $[f'(\xi) + f^2(\xi)] e^{\int_a^\xi f(t) dt}=0$。由于指数函数恒正，所以 $f'(\xi) + f^2(\xi)=0$。
公式：$$h'(\xi)=[f'(\xi)+f^2(\xi)]e^{\int_a^\xi f(t)dt}=0$$
提示：注意指数因子恒正，可约去。
步骤 5/5
目标：结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) + f^2(\xi)=0$，证毕。
提示：注意构造辅助函数时需满足罗尔定理条件
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