kaoyan2advanced 高等数学 第190题
📝 题目
### 第190题
设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．
💡 答案解析
**答案**：3个实根 **解析**： 步骤1：$f(x)=\int_0^x (t-2t^3)e^{-t^2}dt$，$f(0)=0$，$f'(x)=(x-2x^3)e^{-x^2}$。 步骤2：令 $f'(x)=0$ 得 $\displaystyle x=0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。 步骤3：$f(-\infty)=-\int_0^{+\infty}(t-2t^3)e^{-t^2}dt$ 计算得 $\displaystyle f(-\infty)=-\frac{1}{2}$，$\displaystyle f(+\infty)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle f\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 异号，结合单调区间得3个实根。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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