kaoyan2advanced 高等数学 第189题

已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上存在二阶导数，$f(0)<0$，$f''(x)>0$。由 $f''(x)>0$ 可知 $f'(x)$ 严格单调递增，$f(x)$ 是严格凸函数。

由于 $f'(x)$ 严格递增，它至多有一个零点（即驻点）。若 $f'(x)$ 无零点，则 $f(x)$ 单调，至多一个零点；若 $f'(x)$ 有一个零点 $x_0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,x_0)$ 单调递减，在 $(x_0,+\infty)$ 单调递增，因此 $f(x)$ 至多有两个零点。

由 $f''(x)>0$ 知 $f(x)$ 是凸函数，且 $f(0)<0$。考虑极限：当 $x \to -\infty$ 时，凸函数 $f(x)$ 要么趋于 $+\infty$，要么趋于 $-\infty$，但若趋于 $-\infty$，则 $f'(x)$ 会趋于负无穷，与 $f''(x)>0$ 矛盾（因为 $f'(x)$ 递增，若趋于负无穷则无法递增）。故 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$，同理 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。因此存在 $x_1<0$ 使 $f(x_1)>0$，$x_2>0$ 使 $f(x_2)>0$。由介值定理，在 $(x_1,0)$ 和 $(0,x_2)$ 内各至少有一个零点，故至少有一个零点。

设 $f(x)$ 有两个零点 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$。由于 $f$ 是严格凸函数，其最小值点唯一，记为 $x_0$。若 $x_1$ 和 $x_2$ 同号，则 $0$ 在它们之间或之外。若 $0$ 在 $x_1$ 和 $x_2$ 之间，则 $f(0)<0$ 与凸函数在零点之间的函数值非正矛盾（凸函数在两点间函数值不超过端点函数值的线性组合，而端点函数值为0，中间点应非正，但 $f(0)<0$ 符合，但需进一步分析）。更直接地：若 $x_1$ 和 $x_2$ 同号，不妨设 $x_1

提示：注意凸函数性质与零点位置关系