kaoyan2advanced 高等数学 第188题
📝 题目
### 第188题
设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle (x-4) \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}-(x-2) \mathrm{e}^{x}+2<0$ ． 建设荅题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令 $f(x)=(x-4)e^{x/2}-(x-2)e^x+2$，则 $f(0)=0$。 步骤2：求导 $\displaystyle f'(x)=e^{x/2}+\frac{1}{2}(x-4)e^{x/2}-e^x-(x-2)e^x=\left(\frac{x}{2}-1\right)e^{x/2}-(x-1)e^x$。 步骤3：令 $\displaystyle g(x)=e^{-x/2}f'(x)=\frac{x}{2}-1-(x-1)e^{x/2}$，$g(0)=0$，$\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2}-e^{x/2}-\frac{1}{2}(x-1)e^{x/2}=\frac{1}{2}-\left(\frac{x+1}{2}\right)e^{x/2}<0$ 于 $x>0$，故 $g(x)<0$，$f'(x)<0$，$f(x)<0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并计算初始值
令 $f(x) = (x-4)e^{x/2} - (x-2)e^x + 2$，则 $f(0) = (0-4)e^0 - (0-2)e^0 + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$。
公式：$$f(x) = (x-4)e^{x/2} - (x-2)e^x + 2$$
提示：注意代入x=0时各项计算符号
步骤 2/5
目标：求导并化简
求导得 $f'(x) = e^{x/2} + \frac{1}{2}(x-4)e^{x/2} - e^x - (x-2)e^x = \left(\frac{x}{2} - 1\right)e^{x/2} - (x-1)e^x$。
公式：$$f'(x) = e^{x/2} + \frac{1}{2}(x-4)e^{x/2} - e^x - (x-2)e^x = \left(\frac{x}{2} - 1\right)e^{x/2} - (x-1)e^x$$
提示：注意求导时乘法法则和指数函数求导
步骤 3/5
目标：引入辅助函数简化导数符号判断
令 $g(x) = e^{-x/2}f'(x) = \frac{x}{2} - 1 - (x-1)e^{x/2}$，则 $g(0) = 0 - 1 - (-1)\cdot 1 = 0$。
公式：$$g(x) = e^{-x/2}f'(x) = \frac{x}{2} - 1 - (x-1)e^{x/2}$$
提示：注意g(0)的计算，避免符号错误
步骤 4/5
目标：对辅助函数求导并判断单调性
求导得 $g'(x) = \frac{1}{2} - e^{x/2} - \frac{1}{2}(x-1)e^{x/2} = \frac{1}{2} - \left(\frac{x+1}{2}\right)e^{x/2}$。当 $x>0$ 时，$e^{x/2} > 1$，$\frac{x+1}{2} > \frac{1}{2}$，故 $\left(\frac{x+1}{2}\right)e^{x/2} > \frac{1}{2}$，因此 $g'(x) < 0$，$g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。
公式：$$g'(x) = \frac{1}{2} - \left(\frac{x+1}{2}\right)e^{x/2}$$
提示：注意符号判断时不等式方向
步骤 5/5
目标：得出导数符号并证明原不等式
由 $g(0)=0$ 且 $g(x)$ 单调递减，得 $g(x) < 0$ 对 $x>0$ 成立，从而 $f'(x) = e^{x/2}g(x) < 0$。故 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，又 $f(0)=0$，所以 $f(x) < 0$ 对 $x>0$ 成立，即原不等式得证。
提示：注意单调性与端点值的结合
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