kaoyan2advanced 高等数学 第187题
📝 题目
### 第187题
证明：当 $0
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令 $\displaystyle F(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\arcsin x$，则需证 $F(x)>0$ 于 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数，转化不等式
令 $F(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\arcsin x$，则需证 $F(x)>0$ 于 $0
公式：$$F(x)=\ln(1+x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}-\arcsin x$$
提示：注意定义域和函数单调性
步骤 2/5
目标：计算函数值及导数
计算 $F(0)=0$，且 $F'(x)=\frac{1}{1+x}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\ln(1+x)\cdot\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
提示：注意复合函数求导法则
步骤 3/5
目标：化简导数表达式
化简得 $F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\frac{\ln(1+x)}{1-x}-1\right)$。
公式：$$F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\frac{\ln(1+x)}{1-x}-1\right)$$
提示：注意导数运算的链式法则和化简
步骤 4/5
目标：构造辅助函数并分析其导数
令 $G(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\frac{\ln(1+x)}{1-x}-1$，则 $G(0)=0$，且 $G'(x)=\frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{\ln(1+x)}{(1-x)^2}>0$ 于 $0
提示：注意导数符号判断
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $G'(x)>0$ 得 $G(x)>0$，从而 $F'(x)>0$，又 $F(0)=0$，故 $F(x)>0$，即原不等式成立。
提示：注意单调性与初始值结合推导不等式
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