kaoyan2advanced 高等数学 第186题

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📝 题目

### 第186题

已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_{a}^{y+x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切，试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{(x(x)}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ **解析**： 由$\int_a^{y+x}\mathrm{e}^{-t^2}dt=2y-\sin x$，两边对$x$求导：$\mathrm{e}^{-(y+x)^2}(y'+1)=2y'-\cos x$。 在原点$(0,0)$处，$y(0)=0$，代入得$\mathrm{e}^{0}(y'(0)+1)=2y'(0)-1$，解得$y'(0)=2$。 曲线$y=f(x)$与上述曲线在原点相切，故$f(0)=0$，$f'(0)=2$。 所求极限$\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\frac{\ln(1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{f(x)}}$，其中$a$未知，需由条件确定。由$\ln(1+x)\sim x$，则$\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x^{1+a}}\sim x^{-a}$，取$a=0$使极限非0，则原式$\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\mathrm{e}^{\lim_{x\to0}\frac{\ln\frac{\ln(1+x)}{x}}{f(x)}}$。 $\displaystyle \ln\frac{\ln(1+x)}{x}=\ln\left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)\sim -\frac{x}{2}$，分母$f(x)\sim 2x$，故指数极限$\displaystyle -\frac{1}{4}$，原极限$\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：由隐函数方程求导确定切线斜率
已知 $\int_a^{y+x} e^{-t^2} dt = 2y - \sin x$，两边对 $x$ 求导得：$e^{-(y+x)^2}(y'+1) = 2y' - \cos x$。代入原点 $(0,0)$ 处 $y(0)=0$，得 $e^0(y'(0)+1)=2y'(0)-1$，解得 $y'(0)=2$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) u'(x)$$
提示：注意隐函数求导时y是x的函数
步骤 2/6
目标：步骤2：利用相切条件确定 $f(x)$ 的性质
曲线 $y=f(x)$ 与上述曲线在原点相切，故 $f(0)=0$，$f'(0)=2$，即 $f(x) \sim 2x$（当 $x \to 0$）。
提示：注意相切条件包括函数值和导数值相等
步骤 3/6
目标：步骤3：分析极限中 $a$ 的取值
所求极限 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1+x)}{x^{1+a}}\right]^{\frac{1}{f(x)}}$。由于 $\ln(1+x) \sim x$，则 $\frac{\ln(1+x)}{x^{1+a}} \sim x^{-a}$。为使极限非零且有限，取 $a=0$，则原式化为 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$。
公式：$$\ln(1+x) \sim x$$
提示：注意等价无穷小替换后指数形式
步骤 4/6
目标：步骤4：取对数化为指数极限
令 $L = \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$，则 $\ln L = \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)}{f(x)}$。
提示：注意对数化后分母f(x)趋于0
步骤 5/6
目标：步骤5：展开分子和分母的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故 $\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$，则 $\ln\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right) \sim -\frac{x}{2}$。分母 $f(x) \sim 2x$。
公式：$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2), \quad f(x) \sim 2x$$
提示：注意等价无穷小替换的精度
步骤 6/6
目标：步骤6：计算极限并得出答案
因此 $\ln L = \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x}{2}}{2x} = -\frac{1}{4}$，故 $L = e^{-\frac{1}{4}}$。
公式：$$\ln L = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x}{2}}{2x} = -\frac{1}{4}$$
提示：注意极限计算时分子分母约分

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