kaoyan2advanced 高等数学 第185题
📝 题目
### 第185题
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶连续可导，且对任意的 $x$ 与 $h$ 满足 $\displaystyle f(x+h)- f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$ ．
求证：$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c$ 为常数．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 对任意$x,h$，有$\displaystyle f(x+h)-f(x)=hf'(x+\frac{h}{2})$。 两边对$h$求导：$\displaystyle f'(x+h)=f'(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{2}f''(x+\frac{h}{2})$。 令$h=0$得$f'(x)=f'(x)$恒等。再对$h$求导：$\displaystyle f''(x+h)=\frac{1}{2}f''(x+\frac{h}{2})+\frac{1}{2}f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})=f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})$。 令$h=0$得$f''(x)=f''(x)$，再对$h$求导并令$h=0$得$f'''(x)=0$，故$f''(x)$为常数，积分得$f(x)=ax^2+bx+c$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：对原等式两边关于h求导
已知对任意$x$与$h$，有$f(x+h)-f(x)=hf'(x+\frac{h}{2})$。两边对$h$求导，左边导数为$f'(x+h)$，右边导数为$f'(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{2}f''(x+\frac{h}{2})$，得到：$$f'(x+h)=f'(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{2}f''(x+\frac{h}{2})$$
公式：$$f'(x+h)=f'(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{2}f''(x+\frac{h}{2})$$
提示：注意对h求导时，复合函数求导法则
步骤 2/6
目标：步骤2：令h=0得到恒等式
在上式中令$h=0$，得$f'(x)=f'(x)$，这是恒等式，未提供新信息。
提示：代入h=0得到恒等式，无新信息
步骤 3/6
目标：步骤3：再次对h求导
对$f'(x+h)=f'(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{2}f''(x+\frac{h}{2})$两边再对$h$求导，左边导数为$f''(x+h)$，右边导数为$\frac{1}{2}f''(x+\frac{h}{2})+\frac{1}{2}f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})=f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})$，得到：$$f''(x+h)=f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})$$
公式：$$f''(x+h)=f''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{4}f'''(x+\frac{h}{2})$$
提示：注意复合函数求导时中间变量系数
步骤 4/6
目标：步骤4：令h=0并再次求导
令$h=0$，得$f''(x)=f''(x)$，仍是恒等式。再对$h$求导一次：左边导数为$f'''(x+h)$，右边导数为$\frac{1}{2}f'''(x+\frac{h}{2})+\frac{1}{4}f'''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{8}f^{(4)}(x+\frac{h}{2})=\frac{3}{4}f'''(x+\frac{h}{2})+\frac{h}{8}f^{(4)}(x+\frac{h}{2})$。令$h=0$，得$f'''(x)=\frac{3}{4}f'''(x)$，即$\frac{1}{4}f'''(x)=0$，故$f'''(x)=0$对所有$x$成立。
提示：注意对h求导时链式法则的应用
步骤 5/6
目标：步骤5：积分得到f(x)的形式
由$f'''(x)=0$，知$f''(x)$为常数，记为$2a$（方便后续积分）。积分一次得$f'(x)=2ax+b$，再积分得$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
公式：$$f'''(x)=0 \Rightarrow f''(x)=2a \Rightarrow f'(x)=2ax+b \Rightarrow f(x)=ax^2+bx+c$$
提示：注意积分常数不要遗漏
步骤 6/6
目标：步骤6：结论
因此，函数$f(x)$必为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，证毕。
提示：注意二阶连续可导条件用于求导
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