kaoyan2advanced 高等数学 第192题
📝 题目
### 第192题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,4]$ 上具有二阶导数，且 $f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2$ ．证明存在 $\xi \in(0,4)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-\frac{1}{3}$ ．
建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：构造 $\displaystyle F(x)=f(x)-\frac{1}{3}x^2$，则 $F(0)=0$，$\displaystyle F(1)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，$\displaystyle F(4)=2-\frac{16}{3}=-\frac{10}{3}$。 步骤2：由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1\in(0,1)$ 使 $\displaystyle F'(\xi_1)=\frac{F(1)-F(0)}{1-0}=\frac{2}{3}$，存在 $\xi_2\in(1,4)$ 使 $\displaystyle F'(\xi_2)=\frac{F(4)-F(1)}{4-1}=\frac{-10/3-2/3}{3}=-\frac{4}{3}$。 步骤3：由 $\displaystyle F''(x)=f''(x)-\frac{2}{3}$，对 $F'$ 用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)$ 使 $\displaystyle F''(\xi)=\frac{F'(\xi_2)-F'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}=\frac{-4/3-2/3}{\xi_2-\xi_1}=-\frac{2}{\xi_2-\xi_1}$，取 $\xi_2-\xi_1=6$ 得 $\displaystyle F''(\xi)=-\frac{1}{3}$，即 $\displaystyle f''(\xi)=-\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★★☆